Determinar a solução geral das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aplicado aqui é a soma da solução complementar (da equação homogênea associada) com uma solução particular obtida pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
cuja solução são
Logo, a solução complementar é
Passo 3
Para a solução particular, note que o termo forçante é
com
(polinômio de grau 1) e
corresponde a uma raiz simples
da característica. Pelo método dos coeficientes indeterminados, multiplicamos por
um polinômio de mesmo grau. Assim, propomos
e definimos
de modo que
Passo 4
Calculamos as derivadas de
usando produto e cadeia:
Passo 5
Substituindo em
e fatorando
, obtém-se:
Para que isso seja igual a
, basta satisfazer
Passo 6
Como
, temos
Então
Igualando a
obtemos o sistema de coeficientes:
Passo 7
Assim a solução particular é
A solução geral da equação original é