Determinar a solução geral das equações diferenciais a seguir.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=(x-2) e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 6y = (x - 2)e^{-3x}.
O conteúdo aplicado aqui é a soma da solução complementar (da equação homogênea associada) com uma solução particular obtida pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' + y' - 6y = 0.
A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0,
cuja solução são
r = 2 \quad\text{e}\quad r = -3.
Logo, a solução complementar é
y_{\mathrm{h}}(x) = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-3x}.

Passo 3

Para a solução particular, note que o termo forçante é P(x)e^{-3x} com P(x)=x-2 (polinômio de grau 1) e e^{-3x} corresponde a uma raiz simples (r=-3) da característica. Pelo método dos coeficientes indeterminados, multiplicamos por x um polinômio de mesmo grau. Assim, propomos
y_{\mathrm{p}}(x) = x\bigl(Ax + B\bigr)e^{-3x},
e definimos
u(x) = Ax^2 + Bx,
de modo que
y_{\mathrm{p}}(x) = u(x)\,e^{-3x}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{\mathrm{p}} usando produto e cadeia:
y_{\mathrm{p}}' = \bigl(u' - 3u\bigr)e^{-3x},
y_{\mathrm{p}}'' = \bigl(u'' - 6u' + 9u\bigr)e^{-3x}.

Passo 5

Substituindo em y''+y'-6y e fatorando e^{-3x}, obtém-se:
y_{\mathrm{p}}'' + y_{\mathrm{p}}' - 6y_{\mathrm{p}} = \bigl(u'' - 6u' + 9u + u' - 3u -6u\bigr)e^{-3x} = \bigl(u'' - 5u'\bigr)e^{-3x}.
Para que isso seja igual a (x-2)e^{-3x}, basta satisfazer
u''(x) - 5u'(x) = x - 2.

Passo 6

Como u(x)=Ax^2+Bx, temos
u'(x)=2Ax + B, \quad u''(x)=2A.
Então
u'' - 5u' = 2A - 5(2Ax + B) = -10Ax + 2A - 5B.
Igualando a x - 2 obtemos o sistema de coeficientes:
-10A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{1}{10},
2A - 5B = -2 \quad\Longrightarrow\quad - \tfrac{1}{5} - 5B = -2 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{9}{25}.

Passo 7

Assim a solução particular é
y_{\mathrm{p}}(x) = \bigl(-\tfrac{1}{10}x^2 + \tfrac{9}{25}x\bigr)e^{-3x}.
A solução geral da equação original é
y(x) = y_{\mathrm{h}}(x) + y_{\mathrm{p}}(x) = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-3x} + \bigl(-\tfrac{1}{10}x^2 + \tfrac{9}{25}x\bigr)e^{-3x}.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-3x} + \Bigl(-\tfrac{1}{10}x^2 + \tfrac{9}{25}x\Bigr)e^{-3x}.

Exercícios relacionados