Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
4 y^{\prime}+y^{2} \sin 3 x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
4y' + y^{2}\sin(3x) = 0
e pede a solução geral. Este é um caso de equação diferencial separável: vamos reescrever y' como \frac{dy}{dx} e separar os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Escrevendo \frac{dy}{dx} e isolando os termos, temos
4\,\frac{dy}{dx} = -\,y^{2}\sin(3x).
Dividindo ambos os lados por 4y^{2}, obtemos
\frac{dy}{y^{2}} = -\frac{1}{4}\,\sin(3x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int -\frac{1}{4}\sin(3x)\,dx.
O lado esquerdo é
\int y^{-2}dy = -\frac{1}{y}.
Para o direito, use \int \sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\cos(3x), logo
\int -\tfrac{1}{4}\sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{4}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr) = \tfrac{1}{12}\cos(3x).
Incluindo a constante de integração C, fica
-\frac{1}{y} = \frac{1}{12}\cos(3x) + C.

Passo 4

Multiplicando por -1 resulta
\frac{1}{y} = -\frac{1}{12}\cos(3x) + C',
com C'=-C. Chamando C'=A, temos
\frac{1}{y} = A - \frac{1}{12}\cos(3x).
Invertendo ambos os lados e renomeando 12A como K, obtemos a forma mais simples da solução:
y(x)=\frac{12}{K - \cos(3x)},
onde K é a constante arbitrária.

Resposta

y(x)=\frac{12}{K - \cos(3x)},
com K constante de integração.

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