Determinar a solução gráfica (espaço de soluções factíveis e a solução ótima) dos seguintes problemas
a)
sujeito a:
b)
sujeito a:
Como você identificaria estas duas situações aplicando o método simplex?
a)
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício de otimização juntos! Temos duas situações diferentes de Programação Linear (PL) que queremos resolver usando o método Simplex. No primeiro caso, estamos tentando maximizar uma função objetivo, e no segundo, minimizar. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar nossas equações, transformar as desigualdades em igualdades (se necessário) e aplicar o método Simplex passo a passo. Vamos lá!
Passo 2
Situação a): Queremos maximizar
sujeito às restrições:
Primeiro, vamos transformar as desigualdades em igualdades adicionando variáveis de folga (s1, s2, s3). Isso é necessário para aplicar o método Simplex, que trabalha com equações iguais.
Passo 3
Adicionando as variáveis de folga, temos:
Agora, nossa função objetivo
precisa ser reescrita para o método Simplex. Subtraímos
de ambos os lados para formar a equação:
Passo 4
Vamos montar a Tabela Simplex inicial. As variáveis básicas inicialmente são as variáveis de folga s1, s2 e s3. O objetivo é maximizar z, então queremos aumentar o valor de z tanto quanto possível dentro das restrições.
Os coeficientes negativos na linha de
indicam que ainda podemos aumentar o valor de z.
Passo 5
Identificamos a coluna com o coeficiente negativo mais à esquerda, que é
com -3. Isso significa que
é a variável que vai entrar na base. Agora, precisamos determinar qual linha vai sair da base.
Para isso, usamos a regra da razão mínima: dividimos o termo constante pelo coeficiente positivo correspondente na coluna de
.
O menor valor é 3, então a segunda linha (s2) é a que sai da base, e
entra.
Passo 6
Realizamos a operação de pivotamento para atualizar a tabela. Dividimos a segunda linha por 4 para tornar o coeficiente de
igual a 1.
Agora, eliminamos
das outras linhas usando a nova linha de
.
Passo 7
Atualizada a tabela Simplex após o pivotamento:
Agora, ainda temos um coeficiente negativo na linha de
(-1 em
), então repetimos o processo.
Passo 8
Escolhemos
para entrar na base. Aplicamos novamente a regra da razão mínima:
O menor valor é 2, então a terceira linha (s3) sai da base, e
entra.
Passo 9
Realizamos o pivotamento na terceira linha:
Atualizamos a tabela eliminando
das outras linhas.
Passo 10
Tabela Simplex atualizada:
Após simplificar, obtemos:
Agora, não há mais coeficientes negativos na linha de
, o que significa que atingimos a solução ótima.
Passo 11
Situação b): Agora, queremos minimizar
sujeito às restrições:
Primeiro, precisamos transformar as desigualdades em igualdades adicionando variáveis de excesso (e1, e2) e variáveis de folga (s1, s2) se necessário. Porém, como estamos lidando com desigualdades do tipo “
”, adicionamos variáveis de excesso.
Passo 12
Adicionando as variáveis de excesso, temos:
Como queremos minimizar
, podemos ajustar a função objetivo para o método Simplex. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 13
Montamos a Tabela Simplex inicial:
Note que adicionamos uma variável de folga “s” na função objetivo para facilitar o processo.
Passo 14
Identificamos o coeficiente negativo mais à esquerda na linha de
, que é -2 em
. Portanto,
entra na base. Agora, determinamos qual variável sai usando a regra da razão mínima:
O menor valor é 2.75, então a primeira linha (e1) sai da base.
Passo 15
Realizamos o pivotamento na primeira linha:
Agora, eliminamos
das outras linhas usando a nova linha de
.
Passo 16
Atualizamos a tabela após o pivotamento:
Ainda temos um coeficiente negativo na linha de
(-5/2 em
), então continuamos.
Passo 17
Escolhemos
para entrar na base. Aplicamos a regra da razão mínima:
Apenas a segunda linha �� válida, então
sai da base.
Passo 18
Realizamos o pivotamento na segunda linha:
Atualizamos a tabela eliminando
das outras linhas.
Passo 19
Tabela Simplex atualizada:
Após simplificar, obtemos:
Agora, não há mais coeficientes negativos na linha de
, indicando que alcançamos a solução ótima.
Passo 20
Resumindo, aplicamos o método Simplex em ambas as situações, ajustando as equações e utilizando variáveis de folga ou excesso conforme necessário. Assim, encontramos as soluções ótimas para maximizar e minimizar as respectivas funções objetivo dentro das restrições dadas.
Resposta
Através do método Simplex, determinamos que:
a) A solução ótima é
,
com
.
b) A solução ótima é
,
com
.