Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma cartesiana
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é transformar uns números complexos que estão na forma exponencial para a forma cartesiana, ou seja, na forma
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos, especialmente como eles são representados no plano complexo usando o formato polar (com módulo e argumento) e como converter isso para a forma retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo na forma exponencial é dado por
, onde:
-
é o módulo (a distância do número até a origem no plano complexo). -
é o argumento (o ângulo que o número forma com o eixo real positivo).
Para converter para a forma cartesiana
, usamos as fórmulas:
Assim, basta substituir
e
nas fórmulas acima para achar
e
.
Passo 3
Vamos aplicar isso nos números dados:
Passo 4
Vamos resolver cada um passo a passo.
1.
Então,
2.
Então,
3.
Então,
4.
Então,
5.
\(\frac{5\pi}{2}) é o mesmo que já que os ângulos se repetem a cada
.
\(\frac{5\pi}{2}) é o mesmo que
Então,
6.
Então,
7.
é o mesmo que
mais
.
Então,
8.
é o mesmo que
.
Então,
9.
Então,