Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma cartesiana (x+j y): 12 e^j pi, 12 e^-j pi, e^j pi / 2, e^-j pi / 2, e^j 5 pi / 2, raiz2 e^j pi / 4, raiz2 e^j 9 pi / 4, raiz2 e^-j 9 pi / 4, raiz2 e^-j pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é transformar uns números complexos que estão na forma exponencial para a forma cartesiana, ou seja, na forma . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos, especialmente como eles são representados no plano complexo usando o formato polar (com módulo e argumento) e como converter isso para a forma retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo na forma exponencial é dado por x = r cos(theta) , onde:
  • y = r sin(theta) é o módulo (a distância do número até a origem no plano complexo).
  • é o argumento (o ângulo que o número forma com o eixo real positivo).
Para converter para a forma cartesiana , usamos as fórmulas:
Assim, basta substituir e nas fórmulas acima para achar e .

Passo 3

Vamos aplicar isso nos números dados:

Passo 4

Vamos resolver cada um passo a passo.
1. x = 12 cos(pi) = 12 times (-1) = -12
y = 12 sin(pi) = 12 times 0 = 0
x = 12 cos(-pi) = 12 times (-1) = -12
Então, y = 12 sin(-pi) = 12 times 0 = 0
2. x = 1 times cos(pi2) = 0
y = 1 times sin(pi2) = 1
x = 1 times cos(-pi2) = 0
Então, y = 1 times sin(-pi2) = -1
3. x = 1 times cos(pi2) = 0
y = 1 times sin(pi2) = 1
x = raiz2 cos(pi4) = raiz2 times raiz22 = 1
Então, y = raiz2 sin(pi4) = raiz2 times raiz22 = 1
4. x = raiz2 cos(pi4) = 1
y = raiz2 sin(pi4) = 1
x = raiz2 cos(-pi4) = raiz2 times raiz22 = 1
Então, y = raiz2 sin(-pi4) = raiz2 times (-raiz22) = -1
5. x = raiz2 cos(-pi4) = 1
\(\frac{5\pi}{2}) é o mesmo que y = raiz2 sin(-pi4) = -1 já que os ângulos se repetem a cada .
Então,
6.
Então,
7.
é o mesmo que mais .
Então,
8.
é o mesmo que .
Então,
9.
Então,

Resposta

12 e^j pi &= -12 + j cdot 0 12 e^-j pi &= -12 + j cdot 0 e^j pi2 &= 0 + j cdot 1 e^-j pi2 &= 0 + j cdot (-1) e^j 5pi2 &= 0 + j cdot 1 raiz2 e^j pi4 &= 1 + j cdot 1 raiz2 e^j 9pi4 &= 1 + j cdot 1 raiz2 e^-j 9pi4 &= 1 + j cdot (-1) raiz2 e^-j pi4 &= 1 + j cdot (-1)

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