Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=9 x^{6}-x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+5y'+6y=9x^{6}-x
e pede: determinar uma solução particular dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O lado direito (termo não-homogêneo) é o polinômio \;9x^{6}-x.\n
  • A equação é linear e de ordem 2 com coeficientes constantes.
    Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Vou escolher um método para encontrar uma solução particular. Idea geral (explicação didática): quando o termo for um polinômio em x, uma boa opção é tentar uma solução particular também na forma de polinômio com coeficientes desconhecidos — isso se chama método dos coeficientes indeterminados. A razão é simples: derivando polinômios obtém-se polinômios, e a substituição gera um sistema linear para os coeficientes.
Regra prática importante: se 0 for raiz do polinômio característico da parte homogênea (ou seja, se o polinômio característico tiver r=0 como raiz de certa multiplicidade m), então é preciso multiplicar o polinômio tentativa por x^m. Aqui o polinômio característico é
r^{2}+5r+6,
as raízes são r=-2 e r=-3, que não incluem 0. Portanto NÃO precisamos multiplicar a tentativa por nenhum fator x^{m}. Assim o método dos coeficientes indeterminados com uma tentativa polinomial de grau igual ao grau do membro direito é adequado.

Passo 3

Construo a tentativa polinomial de grau 6 com coeficientes desconhecidos (um termo para cada potência de x de 6 até 0):
y_{p}(x)=a x^{6}+b x^{5}+c x^{4}+d x^{3}+e x^{2}+f x+g,
onde a,b,c,d,e,f,g são constantes a determinar. Aqui cada letra representa um coeficiente numérico desconhecido.

Passo 4

Calculo as derivadas necessárias (mostrando passo a passo):
y_{p}'(x)=6a x^{5}+5b x^{4}+4c x^{3}+3d x^{2}+2e x+f,
y_{p}''(x)=30a x^{4}+20b x^{3}+12c x^{2}+6d x+2e.
Explicação curta: derivada de k x^{n} é k n x^{n-1}; apliquei isso termo a termo.

Passo 5

Substituo y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na expressão y''+5y'+6y e agrupo os termos por potências de x.
Primeiro escrevo cada contribuição:
y_{p}'' = 30a x^{4}+20b x^{3}+12c x^{2}+6d x+2e,
5y_{p}' = 30a x^{5}+25b x^{4}+20c x^{3}+15d x^{2}+10e x+5f,
6y_{p} = 6a x^{6}+6b x^{5}+6c x^{4}+6d x^{3}+6e x^{2}+6f x+6g.
Somando tudo obtemos (coeficientes agrupados por potência):
  • coeficiente de x^{6}: 6a,
  • coeficiente de x^{5}: 6b+30a,
  • coeficiente de x^{4}: 6c+25b+30a,
  • coeficiente de x^{3}: 6d+20c+20b,
  • coeficiente de x^{2}: 6e+15d+12c,
  • coeficiente de x^{1}: 6f+10e+6d,
  • termo constante ( x^{0}): 6g+5f+2e.
Esses valores devem ser iguais aos coeficientes do polinômio do lado direito 9x^{6}-x, isto é:
  • coeficiente de x^{6}: 9,
  • coeficiente de x^{5}: 0,
  • coeficiente de x^{4}: 0,
  • coeficiente de x^{3}: 0,
  • coeficiente de x^{2}: 0,
  • coeficiente de x^{1}: -1,
  • coeficiente de x^{0}: 0.

Passo 6

Agora escrevo o sistema de equações obtido igualando coeficientes:
\begin{cases} 6a = 9,\\[4pt] 6b+30a = 0,\\[4pt] 6c+25b+30a = 0,\\[4pt] 6d+20c+20b = 0,\\[4pt] 6e+15d+12c = 0,\\[4pt] 6f+10e+6d = -1,\\[4pt] 6g+5f+2e = 0. \end{cases}
Este sistema é triangular na prática: começamos pelo a (equação simples) e vamos substituindo para encontrar os demais coeficientes um a um.]

Passo 7

Resolvo a primeira equação para a:
6a=9 \implies a=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.

Passo 8

Use a para encontrar b pela segunda equação:
6b+30a=0 \implies 6b+30\cdot\frac{3}{2}=0.
Calculo 30\cdot\frac{3}{2}=45. Então
6b+45=0 \implies b=-\frac{45}{6}=-\frac{15}{2}.

Passo 9

Agora a terceira equação para c:
6c+25b+30a=0.
Substituo a=\frac{3}{2} e b=-\frac{15}{2}:
6c+25\left(-\frac{15}{2}\right)+30\left(\frac{3}{2}\right)=0.
Calculo 25\cdot(-15/2)=-\frac{375}{2} e 30\cdot(3/2)=45=\frac{90}{2}. Então
6c+\frac{-375+90}{2}=0 \implies 6c+\frac{-285}{2}=0.
Assim
6c=\frac{285}{2} \implies c=\frac{285}{12}=\frac{95}{4}.

Passo 10

Quarta equação para d:
6d+20c+20b=0.
Substituo c=\frac{95}{4} e b=-\frac{15}{2}:
6d+20\cdot\frac{95}{4}+20\cdot\left(-\frac{15}{2}\right)=0.
Calculo 20\cdot\frac{95}{4}=5\cdot95=475 e 20\cdot(-15/2)=-150. Então
6d+475-150=0 \implies 6d+325=0.
Logo
d=-\frac{325}{6}.

Passo 11

Quinta equação para e:
6e+15d+12c=0.
Substituo d=-\frac{325}{6} e c=\frac{95}{4}:
6e+15\left(-\frac{325}{6}\right)+12\left(\frac{95}{4}\right)=0.
Calculo 15\cdot(-325/6)=-\frac{4875}{6} e 12\cdot(95/4)=3\cdot95=285. Escrevendo em denominador comum 6:
6e+\frac{-4875+1710}{6}=0 \implies 6e+\frac{-3165}{6}=0.
Multiplicando por 6:
36e-3165=0 \implies e=\frac{3165}{36}=\frac{1055}{12}.

Passo 12

Sexta equação para f:
6f+10e+6d=-1.
Substituo e=\frac{1055}{12} e d=-\frac{325}{6}:
6f+10\cdot\frac{1055}{12}+6\cdot\left(-\frac{325}{6}\right)=-1.
Calculo 10\cdot\frac{1055}{12}=\frac{10550}{12}=\frac{5275}{6} e 6\cdot(-325/6)=-325. Escrevendo em denominador 6:
6f+\frac{5275-1950}{6}=-1 \implies 6f+\frac{3325}{6}=-1.
Multiplico por 6:
36f+3325=-6 \implies 36f=-3331 \implies f=-\frac{3331}{36}.

Passo 13

Sétima equação para g:
6g+5f+2e=0.
Substituo f=-\frac{3331}{36} e e=\frac{1055}{12}:
6g+5\left(-\frac{3331}{36}\right)+2\left(\frac{1055}{12}\right)=0.
Calculo 5\cdot(-3331/36)=-\frac{16655}{36} e 2\cdot(1055/12)=\frac{2110}{12}=\frac{6330}{36}. Então
6g+\frac{-16655+6330}{36}=0 \implies 6g+\frac{-10325}{36}=0.
Logo
6g=\frac{10325}{36} \implies g=\frac{10325}{216}.

Passo 14

Junto todos os coeficientes encontrados e escrevo a solução particular encontrada:
y_{p}(x)=\frac{3}{2}x^{6}-\frac{15}{2}x^{5}+\frac{95}{4}x^{4}-\frac{325}{6}x^{3}+\frac{1055}{12}x^{2}-\frac{3331}{36}x+\frac{10325}{216}.
Pequeno reforço: a técnica foi propor um polinômio do mesmo grau do lado direito com coeficientes indeterminados, derivar, substituir e igualar coeficientes de cada potência de x. Como o polinômio característico não tinha 0 como raiz, não houve necessidade de multiplicar a tentativa por x^{m}.

Resposta

y_{p}(x)=\frac{3}{2}x^{6}-\frac{15}{2}x^{5}+\frac{95}{4}x^{4}-\frac{325}{6}x^{3}+\frac{1055}{12}x^{2}-\frac{3331}{36}x+\frac{10325}{216}.

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