Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais: y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=9 x^{6}-x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+5y'+6y=9x^{6}-x
e pede: determinar uma solução particular dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O lado direito (termo não-homogêneo) é o polinômio \;9x^{6}-x.\n
A equação é linear e de ordem 2 com coeficientes constantes.
Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Vou escolher um método para encontrar uma solução particular. Idea geral (explicação didática): quando o termo for um polinômio em x, uma boa opção é tentar uma solução particular também na forma de polinômio com coeficientes desconhecidos — isso se chama método dos coeficientes indeterminados. A razão é simples: derivando polinômios obtém-se polinômios, e a substituição gera um sistema linear para os coeficientes.
Regra prática importante: se 0 for raiz do polinômio característico da parte homogênea (ou seja, se o polinômio característico tiver r=0 como raiz de certa multiplicidade m), então é preciso multiplicar o polinômio tentativa por x^m. Aqui o polinômio característico é
r^{2}+5r+6,
as raízes são r=-2 e r=-3, que não incluem 0. Portanto NÃO precisamos multiplicar a tentativa por nenhum fator x^{m}. Assim o método dos coeficientes indeterminados com uma tentativa polinomial de grau igual ao grau do membro direito é adequado.
Passo 3
Construo a tentativa polinomial de grau 6 com coeficientes desconhecidos (um termo para cada potência de x de 6 até 0):
Pequeno reforço: a técnica foi propor um polinômio do mesmo grau do lado direito com coeficientes indeterminados, derivar, substituir e igualar coeficientes de cada potência de x. Como o polinômio característico não tinha 0 como raiz, não houve necessidade de multiplicar a tentativa por x^{m}.