Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y=x^{2}+x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+y = x^{2}+x
e pede para determinar uma solução particular. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de segunda ordem e linear com coeficientes constantes.
  • O lado direito (forçamento) é o polinômio \,x^{2}+x, que tem grau 2.
  • A única pergunta é: encontrar uma solução particular y_{p}(x) que satisfaça a equação dada.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e por que usamos isso):
Quando o lado direito da equação é um polinômio (aqui \,x^{2}+x), uma técnica prática é tentar uma solução particular que seja também um polinômio da mesma forma, com coeficientes desconhecidos — isso é o método dos coeficientes indeterminados. A razão é simples: ao derivar um polinômio e somar com o próprio polinômio, obtemos outro polinômio; assim é possível ajustar coeficientes para igualar o lado direito.
Um detalhe importante é evitar “ressonância”: se alguma solução da equação homogênea associada tivesse termos polinomiais que coincidissem com o grau do palpite, precisaríamos multiplicar o palpite por uma potência de x. Então primeiro olhamos para a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Resolvendo-a (característica) temos
r^{2}+1=0 \implies r=\pm i,
logo as soluções homogêneas são \cos x e \sin x. Como \cos x e \sin x não são polinômios, não há ressonância com o polinômio do lado direito. Portanto podemos tentar um palpite polinomial de grau 2:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são coeficientes a determinar.

Passo 3

Calculemos as derivadas do palpite (mostrando passo a passo):
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
y_{p}'(x)=2Ax+B,
y_{p}''(x)=2A.
Aqui A,B,C são constantes desconhecidas; essas expressões foram obtidas aplicando as regras básicas de derivação de polinômios (derivada de x^{n} é n x^{n-1}).

Passo 4

Substituímos na equação original y''+y:
y_{p}''(x)+y_{p}(x)=2A + (Ax^{2}+Bx+C).
Agrupando por potências de x, obtemos
y_{p}''+y_{p}=Ax^{2}+Bx+(2A+C).

Passo 5

Agora igualamos polinômios: isso significa igualar coeficiente a coeficiente com o polinômio do lado direito \,x^{2}+x. Comparando termos correspondentes:
  • Coeficiente de x^{2}: \,A = 1.
  • Coeficiente de x: \,B = 1.
  • Termo constante: \,2A + C = 0.

Passo 6

Resolve-se o sistema para A,B,C. Já temos A=1 e B=1. Substituindo A=1 na equação do termo constante:
2\cdot 1 + C = 0 \implies C = -2.
Portanto os coeficientes são A=1, B=1, C=-2, e a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=x^{2}+x-2.

Resposta

y_{p}(x)=x^{2}+x-2

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