Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar uma solução particular. Informações relevantes fornecidas:
- A equação é de segunda ordem e linear com coeficientes constantes.
- O lado direito (forçamento) é o polinômio
, que tem grau . - A única pergunta é: encontrar uma solução particular
que satisfaça a equação dada.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e por que usamos isso):
Quando o lado direito da equação é um polinômio (aqui ), uma técnica prática é tentar uma solução particular que seja também um polinômio da mesma forma, com coeficientes desconhecidos — isso é o método dos coeficientes indeterminados. A razão é simples: ao derivar um polinômio e somar com o próprio polinômio, obtemos outro polinômio; assim é possível ajustar coeficientes para igualar o lado direito.
Quando o lado direito da equação é um polinômio (aqui
Um detalhe importante é evitar “ressonância”: se alguma solução da equação homogênea associada tivesse termos polinomiais que coincidissem com o grau do palpite, precisaríamos multiplicar o palpite por uma potência de
. Então primeiro olhamos para a equação homogênea associada:
Resolvendo-a (característica) temos
logo as soluções homogêneas são
e
. Como
e
não são polinômios, não há ressonância com o polinômio do lado direito. Portanto podemos tentar um palpite polinomial de grau
:
onde
são coeficientes a determinar.
Passo 3
Calculemos as derivadas do palpite (mostrando passo a passo):
Aqui
são constantes desconhecidas; essas expressões foram obtidas aplicando as regras básicas de derivação de polinômios (derivada de
é
).
Passo 4
Substituímos na equação original
:
Agrupando por potências de
, obtemos
Passo 5
Agora igualamos polinômios: isso significa igualar coeficiente a coeficiente com o polinômio do lado direito
. Comparando termos correspondentes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Passo 6
Resolve-se o sistema para
. Já temos
e
. Substituindo
na equação do termo constante:
Portanto os coeficientes são
,
,
, e a solução particular encontrada é