Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar uma solução particular dessa equação.
Informações importantes que temos: o lado esquerdo é uma combinação de ,
e
com coeficientes constantes; o segundo membro (termo não-homogêneo) é o polinômio
. A pergunta específica é: encontrar uma função
que, quando substituída na equação, satisfaça-a (ou seja, uma solução particular).
Informações importantes que temos: o lado esquerdo é uma combinação de
Passo 2
Escolhendo o método: como o coeficiente da equação são constantes e o termo do lado direito é um polinômio em
, o método mais direto e eficiente é o método dos coeficientes indeterminados.
Breve explicação desse método (passo-a-passo conceitual): a ideia é supor que a solução particular tenha a mesma forma do termo não-homogêneo (aqui um polinômio). Colocamos incógnitas nos coeficientes desse polinômio e determinamos essas incógnitas impondo que a função suposta satisfaça a equação diferencial. Se a forma suposta coincidir com alguma solução da equação homogênea, multiplicamos por
o suficiente para remover a coincidência (isso é o caso de ressonância). Aqui vamos verificar se há ressonância.
Breve explicação desse método (passo-a-passo conceitual): a ideia é supor que a solução particular
Passo 3
Verificando ressonância: a equação homogênea associada é
A equação característica é
Resolvendo, temos
logo as raízes são
e
. Essas raízes correspondem a soluções homogêneas
e
. O termo não-homogêneo
é um polinômio (não exponencial com
ou
), portanto não coincide com as soluções homogêneas — não há ressonância neste caso. Assim podemos tomar uma hipótese para
do mesmo grau do polinômio do lado direito.
Passo 4
Escolhendo a forma de
: o segundo membro é um polinômio de grau 1 (linear),
. Então suponho uma solução particular também polinomial de grau 1:
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar. Explico:
e
são coeficientes indeterminados; a partir da equação diferencial obteremos equações algébricas para eles.
Passo 5
Calculemos as derivadas necessárias da hipótese
:
Aqui eu usei que a derivada de
em relação a
é
e a segunda derivada é
, porque a primeira derivada é constante.
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação diferencial para determinar
e
. A substituição dá:
Organizando termos:
Esse resultado deve ser igual ao segundo membro
. Logo igualamos polinômios:
Para dois polinômios serem iguais em todos
, seus coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais. Assim obtemos o sistema linear para
e
:
Passo 7
Resolvendo o sistema: da primeira equação
segue
Substituindo
na segunda equação
obtemos
Passo 8
Portanto a solução particular encontrada é
Se quiseres, a solução geral da equação seria a soma dessa solução particular com a solução geral da homogênea, mas como o problema pede apenas uma solução particular, paramos aqui.