Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=10 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-3y'+2y=10x
e pede para determinar uma solução particular dessa equação.
Informações importantes que temos: o lado esquerdo é uma combinação de y, y' e y'' com coeficientes constantes; o segundo membro (termo não-homogêneo) é o polinômio 10x. A pergunta específica é: encontrar uma função y_p(x) que, quando substituída na equação, satisfaça-a (ou seja, uma solução particular).

Passo 2

Escolhendo o método: como o coeficiente da equação são constantes e o termo do lado direito é um polinômio em x, o método mais direto e eficiente é o método dos coeficientes indeterminados.
Breve explicação desse método (passo-a-passo conceitual): a ideia é supor que a solução particular y_p(x) tenha a mesma forma do termo não-homogêneo (aqui um polinômio). Colocamos incógnitas nos coeficientes desse polinômio e determinamos essas incógnitas impondo que a função suposta satisfaça a equação diferencial. Se a forma suposta coincidir com alguma solução da equação homogênea, multiplicamos por x o suficiente para remover a coincidência (isso é o caso de ressonância). Aqui vamos verificar se há ressonância.

Passo 3

Verificando ressonância: a equação homogênea associada é
y''-3y'+2y=0.
A equação característica é
r^2-3r+2=0.
Resolvendo, temos
r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
logo as raízes são r=1 e r=2. Essas raízes correspondem a soluções homogêneas e^{x} e e^{2x}. O termo não-homogêneo 10x é um polinômio (não exponencial com e^{x} ou e^{2x}), portanto não coincide com as soluções homogêneas — não há ressonância neste caso. Assim podemos tomar uma hipótese para y_p do mesmo grau do polinômio do lado direito.

Passo 4

Escolhendo a forma de y_p: o segundo membro é um polinômio de grau 1 (linear), 10x. Então suponho uma solução particular também polinomial de grau 1:
y_p(x)=ax+b,
onde a e b são constantes desconhecidas que vamos determinar. Explico: a e b são coeficientes indeterminados; a partir da equação diferencial obteremos equações algébricas para eles.

Passo 5

Calculemos as derivadas necessárias da hipótese y_p(x)=ax+b:
y_p'(x)=a,
y_p''(x)=0.
Aqui eu usei que a derivada de ax+b em relação a x é a e a segunda derivada é 0, porque a primeira derivada é constante.

Passo 6

Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial para determinar a e b. A substituição dá:
y_p''-3y_p'+2y_p = 0 -3\cdot a + 2(ax+b).
Organizando termos:
-3a + 2ax + 2b = 2ax + (2b-3a).
Esse resultado deve ser igual ao segundo membro 10x. Logo igualamos polinômios:
2ax + (2b-3a) = 10x + 0.
Para dois polinômios serem iguais em todos x, seus coeficientes de x e os termos constantes devem ser iguais. Assim obtemos o sistema linear para a e b:
2a = 10,
2b - 3a = 0.

Passo 7

Resolvendo o sistema: da primeira equação 2a=10 segue
a = \frac{10}{2} = 5.
Substituindo a=5 na segunda equação 2b-3a=0 obtemos
2b - 3\cdot 5 = 0
2b -15 = 0
2b = 15
b = \frac{15}{2}.

Passo 8

Portanto a solução particular encontrada é
y_p(x)=ax+b = 5x + \frac{15}{2}.
Se quiseres, a solução geral da equação seria a soma dessa solução particular com a solução geral da homogênea, mas como o problema pede apenas uma solução particular, paramos aqui.

Resposta

y_p(x)=5x+\frac{15}{2}

Exercícios relacionados