Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
y^{\prime}=1+(y-x) \operatorname{cotan}(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 1 + (y - x)\,\cot(x)
e pede para resolver usando uma substituição adequada. O conteúdo é equações lineares ou separáveis, e vamos usar a substituição que elimine o termo y - x.

Passo 2

Definimos a nova função
u(x) = y(x) - x.
Então
u' = y' - 1.
Substituindo em y' = 1 + (y - x)\cot(x) obtemos
u' = \bigl(1 + u\,\cot(x)\bigr) - 1 = u\,\cot(x).

Passo 3

A equação para u ficou separável:
\frac{du}{dx} = u\,\cot(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{u} = \cot(x)\,dx.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{du}{u} = \int \cot(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert u\rvert = \ln\lvert\sin(x)\rvert + C_1
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u(x) = C\,\sin(x),
onde C = \pm e^{C_1} é constante arbitrária.

Passo 4

Voltando à variável original, y = u + x, temos
y(x) = x + C\,\sin(x).

Resposta

A família geral de soluções é
y(x) = x + C\,\sin(x),
com C constante arbitrária.

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