Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
(x+1)\left(y^{\prime}-1\right)=2(y-x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem (x+1)\bigl(y' - 1\bigr) = 2\bigl(y - x\bigr)
e pede para resolver usando uma substituição adequada. Aqui vamos aproveitar que aparece y' - 1 e y - x, sugerindo que definamos uma nova função que simplifique esses termos.

Passo 2

Definimos
u = y - x,
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\frac{du}{dx} = y' - 1.
Substituindo na equação original obtemos
(x+1)\frac{du}{dx} = 2u,
que é uma equação de variáveis separáveis para u(x).

Passo 3

Reescrevendo a equação de variáveis separáveis,
\frac{du}{u} = \frac{2\,dx}{x+1}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{u} = \int \frac{2\,dx}{x+1} \;\Longrightarrow\; \ln\lvert u\rvert = 2\ln\lvert x+1\rvert + C.
Elevando exponencial,
u = C_1\,(x+1)^2,
onde C_1 = e^{C} é constante arbitrária.

Passo 4

Voltando à variável original, como u = y - x, temos
y - x = C_1\,(x+1)^2 \quad\Longrightarrow\quad y = x + C_1\,(x+1)^2.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x + C\,(x+1)^2,
onde C é uma constante arbitrária.

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