Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede para determinar as suas soluções (solução geral). A equação fornecida é
Informações claras extraídas do enunciado:
- A equação é homogênea e linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Os coeficientes numéricos são
para , para e para . - A incógnita é a função
de uma variável independente (vou chamar essa variável de para escrever as soluções).
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação.
Passo 2
Estratégia padrão para este tipo de equação: buscar soluções do tipo exponencial
. Por que isso funciona? Porque derivadas de uma exponencial têm a mesma forma da própria exponencial, então ao substituir
a equação reduz-se a uma equação algébrica para
(a chamada equação característica). Vou fazer isso passo a passo.
Substituindo
na equação:
Substituindo em
e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática para
. Use a fórmula quadrática:
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculando:
É conveniente escrever essas raízes na forma
. Aqui
Passo 4
Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
, a forma real da solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque as combinações lineares das soluções básicas também são soluções; essa fórmula pode ser obtida a partir das exponenciais complexas usando a fórmula de Euler
).
Aqui
e
, então a solução geral fica concretamente:
Passo 5
Comentário didático rápido (para fixar): a presença do fator exponencial
(com
aqui) indica amortecimento — a amplitude das oscilações (as funções seno e cosseno) decai à medida que
cresce. O termo
determina a frequência angular das oscilações: quanto maior
, mais rápidas são as oscilações.
Verificação por substituição (esboço): se alguém quiser checar, pode derivar a expressão encontrada, calcular
Verificação por substituição (esboço): se alguém quiser checar, pode derivar a expressão encontrada, calcular
Passo 6
) e substituir na equação original; as trigonometria e as derivadas de
farão com que os termos se anulem exatamente porque
e
vieram das raízes da equação característica. Essa verificação confirma que a solução é correta.
Passo 7
Resumo final: a solução geral da equação diferencial dada é a combinação linear indicada no passo 4, com
constantes arbitrárias.