Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+12,5 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede para determinar as suas soluções (solução geral). A equação fornecida é
y''+5y'+12,5y=0.
Informações claras extraídas do enunciado:
  • A equação é homogênea e linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Os coeficientes numéricos são 1 para y'', 5 para y' e 12,5 para y.
  • A incógnita é a função y de uma variável independente (vou chamar essa variável de x para escrever as soluções).
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação.

Passo 2

Estratégia padrão para este tipo de equação: buscar soluções do tipo exponencial y(x)=e^{r x}. Por que isso funciona? Porque derivadas de uma exponencial têm a mesma forma da própria exponencial, então ao substituir y=e^{r x} a equação reduz-se a uma equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vou fazer isso passo a passo.
Substituindo y=e^{r x} na equação:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo em \;y''+5y'+12,5y=0\; e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero) obtemos a equação característica:
r^{2}+5r+12,5=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática para r. Use a fórmula quadrática:
r=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot1\cdot12,5}}{2\cdot1}.
Calcule o discriminante:
\Delta=5^{2}-4\cdot12,5=25-50=-25.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculando:
r=\frac{-5\pm\sqrt{-25}}{2}=\frac{-5\pm 5\mathrm{i}}{2}.
É conveniente escrever essas raízes na forma \alpha\pm \mathrm{i}\beta. Aqui
\alpha=-\frac{5}{2},\qquad \beta=\frac{5}{2}.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas \alpha\pm\mathrm{i}\beta, a forma real da solução geral da equação homogênea é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque as combinações lineares das soluções básicas também são soluções; essa fórmula pode ser obtida a partir das exponenciais complexas usando a fórmula de Euler e^{\mathrm{i}\beta x}=\cos(\beta x)+\mathrm{i}\sin(\beta x)).
Aqui \alpha=-\tfrac{5}{2} e \beta=\tfrac{5}{2}, então a solução geral fica concretamente:
y(x)=e^{-\tfrac{5}{2}x}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{5}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{5}{2}x\big)\big).

Passo 5

Comentário didático rápido (para fixar): a presença do fator exponencial e^{\alpha x} (com \alpha<0 aqui) indica amortecimento — a amplitude das oscilações (as funções seno e cosseno) decai à medida que x cresce. O termo \beta determina a frequência angular das oscilações: quanto maior \beta, mais rápidas são as oscilações.
Verificação por substituição (esboço): se alguém quiser checar, pode derivar a expressão encontrada, calcular y

Passo 6

) e substituir na equação original; as trigonometria e as derivadas de e^{\alpha x} farão com que os termos se anulem exatamente porque \alpha e \beta vieram das raízes da equação característica. Essa verificação confirma que a solução é correta.

Passo 7

Resumo final: a solução geral da equação diferencial dada é a combinação linear indicada no passo 4, com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=e^{-\tfrac{5}{2}x}\Big(C_{1}\cos\big(\tfrac{5}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{5}{2}x\big)\Big)

Exercícios relacionados