Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
é a função desconhecida e
é um parâmetro (assuma
). O que se pede: determinar a solução geral dessa equação diferencial (ou seja, a família de todas as soluções).
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
procura-se soluções do tipo exponencial
. Substituindo
na equação obtém-se um polinômio em
chamado equação característica:
As raízes
dessa quadrática determinam a forma da solução geral:
- se as raízes são reais distintas
, então ; - se são iguais
(raiz de multiplicidade 2), então ; - se são complexas conjugadas
(com ), então a solução real geral é
Explicação rápida do caso complexo:
(fórmula de Euler), e as partes real e imaginária geram as duas soluções reais independentes.
Passo 3
Aplicando o procedimento ao nosso caso: a equação característica associada a
é
Passo 4
Calculamos o discriminante
da quadrática:
O discriminante é
, um número negativo e independente de
. Portanto as raízes são complexas conjugadas. Vamos encontrá-las explicitamente:
Passo 5
Aqui
e
. Pelo caso de raízes complexas conjugadas, a solução real geral da EDO é
Substituindo
e
obtemos
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Passo 6
Comentário pedagógico/checagem rápida: outra forma equivalente (com constantes possivelmente complexas) é escrever a solução como combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
mas para obter a solução real usamos as partes real e imaginária e reparametrizamos com
, chegando à forma do passo anterior.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
a solução fica (oscillador harmônico). - Se
a solução fica (oscilações amortecidas exponencialmente).