Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}+2 a y^{\prime}+\left(a^{2}+1\right) y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2a\,y' + (a^{2}+1)\,y = 0,
onde y=y(x) é a função desconhecida e a é um parâmetro (assuma a\in\mathbb{R}). O que se pede: determinar a solução geral dessa equação diferencial (ou seja, a família de todas as soluções).

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
y'' + b\,y' + c\,y = 0
procura-se soluções do tipo exponencial y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} na equação obtém-se um polinômio em r chamado equação característica:
r^{2} + b r + c = 0.
As raízes r dessa quadrática determinam a forma da solução geral:
  • se as raízes são reais distintas r_1,r_2, então y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x};
  • se são iguais r (raiz de multiplicidade 2), então y=(C_1 + C_2 x)e^{r x};
  • se são complexas conjugadas \alpha \pm i\beta (com \beta\neq0), então a solução real geral é
y=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).
Explicação rápida do caso complexo: e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x) (fórmula de Euler), e as partes real e imaginária geram as duas soluções reais independentes.

Passo 3

Aplicando o procedimento ao nosso caso: a equação característica associada a
y'' + 2a\,y' + (a^{2}+1)\,y = 0
é
r^{2} + 2a r + (a^{2}+1) = 0.

Passo 4

Calculamos o discriminante \Delta da quadrática:
\Delta = (2a)^{2} - 4\,(a^{2}+1) = 4a^{2} - 4a^{2} - 4 = -4.
O discriminante é -4, um número negativo e independente de a. Portanto as raízes são complexas conjugadas. Vamos encontrá-las explicitamente:
r = \frac{-2a \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-2a \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2a \pm 2i}{2} = -a \pm i.

Passo 5

Aqui \alpha = -a e \beta = 1. Pelo caso de raízes complexas conjugadas, a solução real geral da EDO é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x) + C_{2}\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha e \beta obtemos
y(x) = e^{-a x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Passo 6

Comentário pedagógico/checagem rápida: outra forma equivalente (com constantes possivelmente complexas) é escrever a solução como combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(x) = K_{1} e^{(-a + i)x} + K_{2} e^{(-a - i)x},
mas para obter a solução real usamos as partes real e imaginária e reparametrizamos com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}, chegando à forma do passo anterior.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se a=0 a solução fica y=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x (oscillador harmônico).
  • Se a=1 a solução fica y=e^{-x}(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x) (oscilações amortecidas exponencialmente).

Resposta

y(x)=e^{-a x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr)
\text{(equivalentemente) } \; y(x)=K_{1} e^{(-a + i)x} + K_{2} e^{(-a - i)x}

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