Num circuito em série com R=5 \Omega e L=0,03 H a corrente está atrasada de 80^{\circ} \mathrm{em} relação à tensão. Determinar a frequência da fonte e a impedância complexa, Z, do circuito.

Passo 1

O enunciado dá um circuito em série formado por um resistor e um indutor, com os valores:
R = 5\\ \Omega,\qquad L = 0,03\\ \mathrm{H},
e informa que a corrente está atrasada de 80^\circ em relação à tensão. As perguntas são:
  1. Determinar a frequência da fonte.
  2. Determinar a impedância complexa Z do circuito.
Listei aqui todas as informações relevantes recebidas: R, L e o atraso de fase da corrente em relação à tensão igual a 80^\circ. Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Vamos modelar o circuito em fasores (explicação didática). Em regime senoidal permanente:
  • A impedância do resistor é real: \;Z_R = R.
  • A impedância do indutor é imaginária positiva: \;Z_L = \mathrm{j}\,\omega L, onde \omega é a pulsação angular da fonte (em rad/s) e \mathrm{j} é a unidade imaginária.
Como estão em série, a impedância total é a soma:
Z = R + \mathrm{j}\,\omega L.
O módulo e o argumento de Z determinam a relação entre tensão e corrente. Se tomarmos a tensão como referência angular 0^\circ, a corrente tem ângulo
\angle I = \angle V - \angle Z = -\angle Z.
No nosso caso a corrente está atrasada de 80^\circ, ou seja \angle I = -80^\circ. Assim devemos ter
\angle Z = 80^\circ.
Para uma impedância Z = R + \mathrm{j}X (com X=\omega L positivo), o argumento é
\angle Z = \arctan\!\left(\frac{X}{R}\right) = \arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right).
Portanto a equação que liga \omega aos dados é
\arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right) = 80^\circ.

Passo 3

Isolamos \omega da equação anterior. Aplicando a tangente em ambos os lados:
\frac{\omega L}{R} = \tan\!\left(80^\circ\right).
Logo
\omega = \frac{R}{L}\,\tan\!\left(80^\circ\right).
Aqui \omega é a pulsação angular em rad/s, R em \Omega e L em henry. Vou agora calcular numericamente cada termo.

Passo 4

Calculemos \tan\!\left(80^\circ\right). Numericamente:
\tan\!\left(80^\circ\right) \approx 5,67128182.
Depois calculemos \dfrac{R}{L}:
\frac{R}{L} = \frac{5}{0,03} = 166,\overline{6}\\ \text{(rad/s por unidade)}.
Multiplicando:
\omega \approx 166,666\ldots \times 5,67128182 \approx 945,2136\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Transformamos \omega em frequência em hertz usando a relação
f = \frac{\omega}{2\pi}.
Portanto
f \approx \frac{945,2136}{2\pi} \approx \frac{945,2136}{6,2831853} \approx 150,47\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Agora determinamos a impedância complexa Z. Primeiro calculamos a reatância indutiva:
X_L = \omega L \approx 945,2136 \times 0,03 \approx 28,3564\\ \Omega.
Logo a impedância em forma retangular é
Z = R + \mathrm{j}X_L = 5 + \mathrm{j}\,28,3564\\ \Omega.
Podemos também escrever em forma fasorial (magnitude e ângulo). O módulo é
|Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{5^2 + 28,3564^2} \approx 28,79\\ \Omega,
e o ângulo é
\angle Z = \arctan\!\left(\frac{28,3564}{5}\right) \approx 80^\circ,
o que confere com a condição do enunciado (corrente atrasada de 80^\circ).

Resposta

f \approx 150,47\\ \mathrm{Hz}
Z \approx 5 + \mathrm{j}\,28,36\\ \Omega (ou Z \approx 28,79\angle 80^\circ\\ \Omega)

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