Para encontrar uma descrição mais simples (uma base, dimensão, ou equação do plano), precisamos descobrir quais vetores de A são linearmente independentes e expressar os dependentes em função dos independentes. Um método prático é montar uma matriz com esses vetores como colunas e fazer eliminação de Gauss para descobrir o posto (número de vetores independentes) e as dependências.
Passo 3
Montamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
A forma escalonada mostra que há pivôs nas colunas 1 e 2 apenas. Portanto o posto é 2: exatamente dois vetores de A são linearmente independentes.]
Passo 5
Interpretação prática:
Como as colunas [1) e 2 são pivôs, os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes e formam uma base parcial do subespaço gerado por A.
As colunas 3 e 4 não têm pivô, portanto v_3 e v_4 são combinações lineares de v_1 e v_2. Vamos achar essas combinações explicitamente (isso facilita na prova).
Procuramos escalares a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3. Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a - b = 0,\\[4pt] 2a + b = 3,\\[4pt] - a + 0\cdot b = -1. \end{cases}
Da primeira equação b=a\]. Substituindo na segunda: \[2a+a=3\Rightarrow 3a=3\Rightarrow a=1. A terceira dá -a=-1 que confirma a=1. Logo
v_3 = v_1 + v_2.
Agora a v_1 + b v_2 = v_4:
\begin{cases} a - b = 2,\\[4pt] 2a + b = 1,\\[4pt] - a = -1. \end{cases}
Da terceira equação a=1\]. Da primeira \(1 - b = 2\Rightarrow b=-1. Confere na segunda: 2\cdot1 + (-1)=1. Logo
v_4 = v_1 - v_2.
Portanto todos os vetores de A estão no plano gerado por v_1 e v_2, e \operatorname{span}(A)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.]
Passo 6
Podemos dar uma descrição alternativa do subespaço como um plano por meio de uma equação linear. O vetor normal ao plano é perpendicular a v_1 e v_2, então podemos calcular n=v_1\times v_2:
Logo o plano é o conjunto de (x,y,z) que satisfazem
(1,1,3)\cdot(x,y,z)=0,
ou seja
x+y+3z=0.
Verificação rápida: v_1 e v_2 satisfazem x+y+3z=0, então eles estão nesse plano; como eles geram o subespaço, o subespaço é exatamente esse plano.]
Resposta
\operatorname{span}(A)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+3z=0\} \operatorname{span}(A)=\operatorname{span}\{(1,2,-1),\,(-1,1,0)\}
Uma base é \{(1,2,-1),\,(-1,1,0)\} e \dim(\operatorname{span}(A))=2