Determinar os subespaços de \mathbb{R}^{3} gerado pelos seguintes conjuntos:
A=\{(1,2,-1),(-1,1,0),(0,3,-1),(2,1,-1)\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelo conjunto
A=\{(1,2,-1),\;(-1,1,0),\;(0,3,-1),\;(2,1,-1)\}.
Informações dadas (peguei todas do enunciado):
  • Os vetores são \,v_1=(1,2,-1),\;v_2=(-1,1,0),\;v_3=(0,3,-1),\;v_4=(2,1,-1).
  • A tarefa é descrever \operatorname{span}(A): dar uma base, a dimensão e, se possível, uma equação do subespaço.

Passo 2

O que significa “gerado por”: \operatorname{span}(A) é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de A. Formalmente,
\operatorname{span}(A)=\{\,\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4 \mid \alpha_i\in\mathbb{R}\,\}.
Para encontrar uma descrição mais simples (uma base, dimensão, ou equação do plano), precisamos descobrir quais vetores de A são linearmente independentes e expressar os dependentes em função dos independentes. Um método prático é montar uma matriz com esses vetores como colunas e fazer eliminação de Gauss para descobrir o posto (número de vetores independentes) e as dependências.

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
M=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Vamos aplicar operações elementares nas linhas para colocar M em forma escalonada e identificar pivôs.]

Passo 4

Eliminação passo a passo (cada operação é uma operação de linha válida):
Partimos de
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar a primeira coluna abaixo do pivô da primeira linha:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_1,
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 3 & 3 & -3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1: R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2,
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar a entrada -1 acima do pivô da segunda coluna e a -1 abaixo:
R_1 \leftarrow R_1 + R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_2,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
A forma escalonada mostra que há pivôs nas colunas 1 e 2 apenas. Portanto o posto é 2: exatamente dois vetores de A são linearmente independentes.]

Passo 5

Interpretação prática:
  • Como as colunas [1) e 2 são pivôs, os vetores v_1 e v_2 são linearmente independentes e formam uma base parcial do subespaço gerado por A.
  • As colunas 3 e 4 não têm pivô, portanto v_3 e v_4 são combinações lineares de v_1 e v_2. Vamos achar essas combinações explicitamente (isso facilita na prova).
Procuramos escalares a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3. Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a - b = 0,\\[4pt] 2a + b = 3,\\[4pt] - a + 0\cdot b = -1. \end{cases}
Da primeira equação b=a\]. Substituindo na segunda: \[2a+a=3\Rightarrow 3a=3\Rightarrow a=1. A terceira dá -a=-1 que confirma a=1. Logo
v_3 = v_1 + v_2.
Agora a v_1 + b v_2 = v_4:
\begin{cases} a - b = 2,\\[4pt] 2a + b = 1,\\[4pt] - a = -1. \end{cases}
Da terceira equação a=1\]. Da primeira \(1 - b = 2\Rightarrow b=-1. Confere na segunda: 2\cdot1 + (-1)=1. Logo
v_4 = v_1 - v_2.
Portanto todos os vetores de A estão no plano gerado por v_1 e v_2, e \operatorname{span}(A)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.]

Passo 6

Podemos dar uma descrição alternativa do subespaço como um plano por meio de uma equação linear. O vetor normal ao plano é perpendicular a v_1 e v_2, então podemos calcular n=v_1\times v_2:
v_1\times v_2=\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[4pt] 1&2&-1\\[4pt]-1&1&0\end{pmatrix} =(1,1,3).
Logo o plano é o conjunto de (x,y,z) que satisfazem
(1,1,3)\cdot(x,y,z)=0,
ou seja
x+y+3z=0.
Verificação rápida: v_1 e v_2 satisfazem x+y+3z=0, então eles estão nesse plano; como eles geram o subespaço, o subespaço é exatamente esse plano.]

Resposta

\operatorname{span}(A)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+3z=0\}
\operatorname{span}(A)=\operatorname{span}\{(1,2,-1),\,(-1,1,0)\}
Uma base é \{(1,2,-1),\,(-1,1,0)\} e \dim(\operatorname{span}(A))=2

Exercícios relacionados