Determinar o subespaço de \mathbb{R}^{2} gerado pelo conjunto A=\{(1,1),(0,1),(1,-1)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{(1,1),(0,1),(1,-1)\}\subset\mathbb{R}^2 e pede para determinar o subespaço gerado por A, isto é, encontrar \operatorname{span}(A).
Informações relevantes que temos:
  • Vetores em A: \;v_1=(1,1),\;v_2=(0,1),\;v_3=(1,-1).
  • A pergunta é: qual é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores?

Passo 2

Explicando o que significa “subespaço gerado” de um jeito simples.
  • Dizer que um vetor w pertence a \operatorname{span}(A) significa que existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
w = a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3.
  • O subespaço gerado por A é o conjunto de todos esses w. Em linguagem curta:
\operatorname{span}(A)=\{a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3 \mid a,b,c\in\mathbb{R}\}.
Isso é tudo: span = todas as combinações lineares possíveis dos vetores dados.

Passo 3

Procurar dependências entre os vetores (se um deles pode ser escrito a partir dos outros), porque vetores dependentes não aumentam o espaço gerado. Vamos ver se v_3 é combinação de v_1 e v_2. Calculo direto:
v_1 - 2v_2 = (1,1) - 2(0,1) = (1,1) - (0,2) = (1,-1) = v_3.
Portanto v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Conclusão prática: adicionar v_3 ao conjunto \{v_1,v_2\} não amplia o span. Logo
\operatorname{span}(A)=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.

Passo 4

Agora é suficiente estudar \operatorname{span}\{v_1,v_2\}. Se \{v_1,v_2\} gerar todo \mathbb{R}^2, então \operatorname{span}(A)=\mathbb{R}^2. Vamos checar se qualquer vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação de v_1 e v_2.

Passo 5

Tentar representar um vetor arbitrário (x,y)\) como \[(x,y) = \alpha v_1 + \beta v_2 = \alpha(1,1)+\beta(0,1).
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá o sistema
\begin{cases} x = \alpha,\\[4pt] y = \alpha + \beta. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha = x\]. Substituindo na segunda: \[y = x + \beta \quad\Rightarrow\quad \beta = y - x.\] Portanto, para qualquer \((x,y) escolhemos \alpha = x e \beta = y-x e obtemos
(x,y) = x\,v_1 + (y-x)\,v_2.
Isso mostra explicitamente que qualquer vetor em \mathbb{R}^2 é combinação linear de v_1 e v_2.]

Passo 6

Comentário sobre independência (opcional, mas útil para entender por que dois vetores bastam): resolver \alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0)\) dá \[\begin{cases} \alpha = 0,\\[4pt] \alpha + \beta = 0, \end{cases}
logo \alpha=0\] e \(\beta=0. Como a única solução é trivial, v_1 e v_2 são linearmente independentes — isso significa que eles formam uma base de \mathbb{R}^2 (são dois vetores independentes em \mathbb{R}^2), reforçando que seu span é todo \mathbb{R}^2.]

Passo 7

Conclusão final: como v_3 é combinação de v_1 e v_2, e \{v_1,v_2\} gera todo \mathbb{R}^2, segue que
\operatorname{span}(A)=\mathbb{R}^2.
Se quiser decorar um truque rápido para a prova: ao ver vetores em \mathbb{R}^2, se encontrar dois vetores não múltiplos um do outro, já pode concluir que o span é \mathbb{R}^2.

Resposta

\operatorname{span}(A)=\mathbb{R}^2

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