Determinar o subespaço de
gerado pelo conjunto
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para determinar o subespaço gerado por
, isto é, encontrar
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Vetores em
: - A pergunta é: qual é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores?
Passo 2
Explicando o que significa “subespaço gerado” de um jeito simples.
- Dizer que um vetor
pertence a significa que existem escalares tais que
- O subespaço gerado por
é o conjunto de todos esses . Em linguagem curta:
Isso é tudo: span = todas as combinações lineares possíveis dos vetores dados.
Passo 3
Procurar dependências entre os vetores (se um deles pode ser escrito a partir dos outros), porque vetores dependentes não aumentam o espaço gerado. Vamos ver se
é combinação de
e
. Calculo direto:
Portanto
é combinação linear de
e
. Conclusão prática: adicionar
ao conjunto
não amplia o span. Logo
Passo 4
Agora é suficiente estudar
. Se
gerar todo
, então
. Vamos checar se qualquer vetor arbitrário
pode ser escrito como combinação de
e
.
Passo 5
Tentar representar um vetor arbitrário
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá o sistema
Da primeira equação vem
escolhemos
e
e obtemos
Isso mostra explicitamente que qualquer vetor em
é combinação linear de
e
.]
Passo 6
Comentário sobre independência (opcional, mas útil para entender por que dois vetores bastam): resolver
logo
. Como a única solução é trivial,
e
são linearmente independentes — isso significa que eles formam uma base de
(são dois vetores independentes em
), reforçando que seu span é todo
.]
Passo 7
Conclusão final: como
é combinação de
e
, e
gera todo
, segue que
Se quiser decorar um truque rápido para a prova: ao ver vetores em
, se encontrar dois vetores não múltiplos um do outro, já pode concluir que o span é
.