4 - Seja um eixo de seção circular vazada, sujeito à ação de um momento torçor
e uma carga normal de tração de 20.000 Kgf . Para os pontos A e B pede-se:
a) Maior tensão tangencial devido ao torçor;
b) Maior tensão normal devido à carga normal;
c) As tensões normais principais e a máxima tensão tangencial.
Dados:
ext
int
a) Maior tensão tangencial devido ao torçor;
b) Maior tensão normal devido à carga normal;
c) As tensões normais principais e a máxima tensão tangencial.
Passo 1
O que o enunciado pede (para os pontos A e B):
- (a) A maior tensão tangencial (devida ao torçor).
- (b) A maior tensão normal (devida à carga axial de tração).
- (c) As tensões normais principais e a máxima tensão tangencial (no estado plano de tensões formado pela tensão axial e pela tensão de cisalhamento).
Dados fornecidos (peguei os valores dos diâmetros do enunciado/imagem):
- Momento torçor:
. - Força normal (tração):
. - Diâmetro externo:
- Diâmetro interno:
Observações importantes (para não confundir):
- O ponto
está localizado na superfície externa (raio ); o ponto está na superfície interna (raio ). Esses posicionamentos foram observados na imagem. - A tensão normal axial (de tração) é distribuída uniformemente sobre a seção efetiva (área do anel).
- A tensão tangencial devido ao torçor varia com o raio segundo a fórmula linear
, logo é máxima na superfície externa.
Passo 2
Calcular quantidades geométricas da seção (essas fórmulas são padrão para seção circular vazada).
Área da seção (área do anel):
Polar momento de inércia (momento polar) da seção circular vazada:
Explicação rápida do que são:
-
é a área útil que recebe a força axial . -
mede a “resistência” à torção da seção; aparece na relação entre o torque e a tensão de cisalhamento.
Substituindo
e
:
Passo 3
Tensão normal axial (devida à força
), fórmula e cálculo.
Fórmula (tensão média uniforme):
Aqui
é a tensão normal axial (positiva se tração),
a força axial e
a área.
Substituindo:
Observação: essa tensão é a mesma em todos os pontos da seção (A e B), pois a carga axial é distribuída uniformemente.
Passo 4
Tensão tangencial (cisalhamento) devido ao torçor: teoria e cálculo nos pontos A e B.
Fórmula para tensão de cisalhamento por torção em uma seção circular vazada:
onde
é a distância radial ao eixo (no ponto onde se quer a tensão),
é o torque e
é o momento polar calculado antes.
- No ponto
(superfície externa): .
Calcule numericamente:
- No ponto
(superfície interna): .
Comentário: a maior tensão tangencial por torçor ocorre na superfície externa (
), como era esperado.
Passo 5
Estado de tensões no plano (e fórmulas para tensões principais e máxima tensão tangencial).
No plano que contém a direção axial (
) e a tangencial/longitudinal (direção do cisalhamento devido ao torque), o estado de tensões é um problema de plano de tensão com:
-
(tensão normal axial, calculada no Passo 3), -
(na direção circunferencial, desprezamos tensões de lâmina), -
(cisalhamento longitudinal devido ao torçor).
Fórmulas gerais (para plano de tensões com
):
onde
é a maior tensão principal e
a menor (podem ter sinais diferentes).
A máxima tensão de cisalhamento no plano (valor absoluto) é
A máxima tensão de cisalhamento no plano (valor absoluto) é
Explicação didática: a componente
“empurra” o círculo de Mohr para a direita, enquanto
alarga a amplitude; as fórmulas vêm da resolução algébrica do tensor de tensões 2×2.
Vamos calcular para cada ponto usando
.
Passo 6
Cálculos numéricos para o ponto A (usar
).
Valores numéricos já obtidos:
Calcular o termo radical:
Portanto as tensões principais em
:
Máxima tensão tangencial (valor absoluto) em
:
Interpretação rápida:
é tração maior;
aparece negativa (compressão) porque a combinação de cisalhamento e a média desloca o segundo principal para valor negativo.
Passo 7
Cálculos numéricos para o ponto B (usar
).
Valores:
Termo radical:
Tensões principais em
:
Máxima tensão tangencial (valor absoluto) em
:
Passo 8
Interpretações finais e lembretes práticos para a prova:
- A tensão normal axial
é a mesma em A e B porque vem da força axial dividida pela área do anel. - A tensão de cisalhamento por torção cresce linearmente com
; por isso o ponto A (superfície externa) tem maior cisalhamento. - Para combinar uma tensão normal com uma tensão tangencial (cisalhamento), use as fórmulas de tensões principais do plano (já usadas), ou o círculo de Mohr para visualizar.
- Valores finais estão em
.
Resposta
A (superfície externa):
A (tensão normal):
A (tensões principais):
A (máx. tensão tangencial):
A (tensão normal):
A (tensões principais):
A (máx. tensão tangencial):
B (superfície interna):
B (tensão normal):
B (tensões principais):
B (máx. tensão tangencial):
B (tensão normal):
B (tensões principais):
B (máx. tensão tangencial):