4 - Seja um eixo de seção circular vazada, sujeito à ação de um momento torçor \mathrm{T}=60.000 \mathrm{Kgf} \times \mathrm{cm} e uma carga normal de tração de 20.000 Kgf . Para os pontos A e B pede-se:
a) Maior tensão tangencial devido ao torçor;
b) Maior tensão normal devido à carga normal;
c) As tensões normais principais e a máxima tensão tangencial.
Dados: \varnothing ext =6 \mathrm{~cm}
\varnothing int =4 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o enunciado pede (para os pontos A e B):
  • (a) A maior tensão tangencial (devida ao torçor).
  • (b) A maior tensão normal (devida à carga axial de tração).
  • (c) As tensões normais principais e a máxima tensão tangencial (no estado plano de tensões formado pela tensão axial e pela tensão de cisalhamento).
Dados fornecidos (peguei os valores dos diâmetros do enunciado/imagem):
  • Momento torçor: \,T=60.000\\ \mathrm{Kgf}\times\mathrm{cm}.
  • Força normal (tração): \,N=20.000\\ \mathrm{Kgf}.
  • Diâmetro externo: \varnothing_{\text{ext}}=6\\ \mathrm{cm}\Rightarrow R_{o}=3\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro interno: \varnothing_{\text{int}}=4\\ \mathrm{cm}\Rightarrow R_{i}=2\\ \mathrm{cm}.
Observações importantes (para não confundir):
  • O ponto A está localizado na superfície externa (raio R_{o}=3\\ \mathrm{cm}); o ponto B está na superfície interna (raio R_{i}=2\\ \mathrm{cm}). Esses posicionamentos foram observados na imagem.
  • A tensão normal axial (de tração) é distribuída uniformemente sobre a seção efetiva (área do anel).
  • A tensão tangencial devido ao torçor varia com o raio segundo a fórmula linear \tau = \dfrac{T\,r}{J}, logo é máxima na superfície externa.

Passo 2

Calcular quantidades geométricas da seção (essas fórmulas são padrão para seção circular vazada).
Área da seção (área do anel):
A=\pi\left(R_{o}^{2}-R_{i}^{2}\right).
Polar momento de inércia (momento polar) da seção circular vazada:
J=\frac{\pi}{2}\left(R_{o}^{4}-R_{i}^{4}\right).
Explicação rápida do que são:
  • A é a área útil que recebe a força axial N.
  • J mede a “resistência” à torção da seção; aparece na relação entre o torque T e a tensão de cisalhamento.
Substituindo R_{o}=3\\ \mathrm{cm} e R_{i}=2\\ \mathrm{cm}:
A=\pi\left(3^{2}-2^{2}\right)=\pi(9-4)=5\pi\\ \mathrm{cm^{2}}.
J=\frac{\pi}{2}\left(3^{4}-2^{4}\right)=\frac{\pi}{2}(81-16)=\frac{\pi}{2}\cdot65=32{,}5\pi\\ \mathrm{cm^{4}}.

Passo 3

Tensão normal axial (devida à força N), fórmula e cálculo.
Fórmula (tensão média uniforme):
\sigma=\frac{N}{A}.
Aqui \sigma é a tensão normal axial (positiva se tração), N a força axial e A a área.
Substituindo:
\sigma=\frac{20.000}{5\pi}=\frac{4.000}{\pi}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}\approx 1.273{,}24\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Observação: essa tensão é a mesma em todos os pontos da seção (A e B), pois a carga axial é distribuída uniformemente.

Passo 4

Tensão tangencial (cisalhamento) devido ao torçor: teoria e cálculo nos pontos A e B.
Fórmula para tensão de cisalhamento por torção em uma seção circular vazada:
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde r é a distância radial ao eixo (no ponto onde se quer a tensão), T é o torque e J é o momento polar calculado antes.
  • No ponto A (superfície externa): r=R_{o}=3\\ \mathrm{cm}.
\tau_{A}=\frac{T\,R_{o}}{J}=\frac{60.000\cdot 3}{32{,}5\pi}=\frac{180.000}{32{,}5\pi}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Calcule numericamente:
\tau_{A}\approx 1.763{,}47\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
  • No ponto B (superfície interna): r=R_{i}=2\\ \mathrm{cm}.
\tau_{B}=\frac{60.000\cdot 2}{32{,}5\pi}=\frac{120.000}{32{,}5\pi}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}\approx 1.175{,}65\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Comentário: a maior tensão tangencial por torçor ocorre na superfície externa ( \tau_{A}), como era esperado.

Passo 5

Estado de tensões no plano (e fórmulas para tensões principais e máxima tensão tangencial).
No plano que contém a direção axial ( x) e a tangencial/longitudinal (direção do cisalhamento devido ao torque), o estado de tensões é um problema de plano de tensão com:
  • \sigma_{x}=\sigma (tensão normal axial, calculada no Passo 3),
  • \sigma_{y}=0 (na direção circunferencial, desprezamos tensões de lâmina),
  • \tau_{xy}=\tau (cisalhamento longitudinal devido ao torçor).
Fórmulas gerais (para plano de tensões com \sigma_{y}=0):
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau^{2}},
onde \sigma_{1} é a maior tensão principal e \sigma_{2} a menor (podem ter sinais diferentes).
A máxima tensão de cisalhamento no plano (valor absoluto) é
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}.
Explicação didática: a componente \sigma_{x} “empurra” o círculo de Mohr para a direita, enquanto \tau alarga a amplitude; as fórmulas vêm da resolução algébrica do tensor de tensões 2×2.
Vamos calcular para cada ponto usando \sigma_{x}=\dfrac{4.000}{\pi}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.

Passo 6

Cálculos numéricos para o ponto A (usar \tau=\tau_{A}).
Valores numéricos já obtidos:
\sigma_{x}=\frac{4.000}{\pi}\approx 1.273{,}2395\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}, \qquad \frac{\sigma_{x}}{2}\approx 636{,}6198\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}},
\tau_{A}\approx 1.763{,}4729\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Calcular o termo radical:
\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{A}^{2}} \approx\sqrt{(636{,}6198)^{2}+(1.763{,}4729)^{2}} \approx 1.874{,}024\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Portanto as tensões principais em A:
\sigma_{1}^{(A)}=\frac{\sigma_{x}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{A}^{2}} \approx 636{,}6198+1.874{,}024\approx 2.510{,}644\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}},
\sigma_{2}^{(A)}=\frac{\sigma_{x}}{2}-\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{A}^{2}} \approx 636{,}6198-1.874{,}024\approx -1.237{,}404\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Máxima tensão tangencial (valor absoluto) em A:
\tau_{\max}^{(A)}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{A}^{2}}\approx 1.874{,}024\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Interpretação rápida: \sigma_{1}^{(A)} é tração maior; \sigma_{2}^{(A)} aparece negativa (compressão) porque a combinação de cisalhamento e a média desloca o segundo principal para valor negativo.

Passo 7

Cálculos numéricos para o ponto B (usar \tau=\tau_{B}).
Valores:
\tau_{B}\approx 1.175{,}649\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Termo radical:
\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{B}^{2}} \approx\sqrt{(636{,}6198)^{2}+(1.175{,}649)^{2}} \approx 1.336{,}494\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Tensões principais em B:
\sigma_{1}^{(B)}=\frac{\sigma_{x}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{B}^{2}} \approx 636{,}6198+1.336{,}494\approx 1.973{,}114\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}},
\sigma_{2}^{(B)}=\frac{\sigma_{x}}{2}-\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{B}^{2}} \approx 636{,}6198-1.336{,}494\approx -0.699{,}874\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Máxima tensão tangencial (valor absoluto) em B:
\tau_{\max}^{(B)}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{B}^{2}}\approx 1.336{,}494\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.

Passo 8

Interpretações finais e lembretes práticos para a prova:
  • A tensão normal axial \sigma é a mesma em A e B porque vem da força axial dividida pela área do anel.
  • A tensão de cisalhamento por torção cresce linearmente com r; por isso o ponto A (superfície externa) tem maior cisalhamento.
  • Para combinar uma tensão normal com uma tensão tangencial (cisalhamento), use as fórmulas de tensões principais do plano (já usadas), ou o círculo de Mohr para visualizar.
  • Valores finais estão em \mathrm{Kgf/cm^{2}}.

Resposta

A (superfície externa): \tau_{A}=1{,}763{,}47\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
A (tensão normal): \sigma=1{,}273{,}24\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
A (tensões principais): \sigma_{1}^{(A)}=2{,}510{,}64\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}},\\ \sigma_{2}^{(A)}=-1{,}237{,}40\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
A (máx. tensão tangencial): \tau_{\max}^{(A)}=1{,}874{,}02\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
B (superfície interna): \tau_{B}=1{,}175{,}65\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
B (tensão normal): \sigma=1{,}273{,}24\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
B (tensões principais): \sigma_{1}^{(B)}=1{,}973{,}11\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}},\\ \sigma_{2}^{(B)}=-0{,}699{,}87\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}
B (máx. tensão tangencial): \tau_{\max}^{(B)}=1{,}336{,}49\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}

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