2 - Para a viga de seção retangular
, de aço
, pede-se:
a) Ângulo de torção da extremidade livre;
b) Tensões normais principais e máxima tensão cisalhante para os pontos A , B e C;
c) Isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr.
DADOS: para
a) Ângulo de torção da extremidade livre;
b) Tensões normais principais e máxima tensão cisalhante para os pontos A , B e C;
c) Isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr.
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) o ângulo de torção da extremidade livre da viga;
- (b) as tensões principais normais e a máxima tensão cisalhante para os pontos
, e ; - (c) isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr (ou seja, determinar centro e raio do círculo para cada ponto, além das direções principais).
Informações/dados fornecidos (peguei estes valores da imagem/legenda e do enunciado):
- Comprimento da viga (distância da força até o apoio):
(peguei da imagem). - Torção aplicada no extremo (momento torçor):
(peguei da imagem; unidade Kgf·cm). - Força lateral na extremidade:
(peguei da imagem). Ela gera o momento fletor no apoio . - No enunciado aparecem coeficientes para razão das semi-dimensões
e os números , , (fornecidos). - Módulo de cisalhamento do aço:
(dado).
Observação importante sobre dimensões da seção (ambiguidade na figura/enunciado):
- O texto inicial falou em seção
, mas a imagem mostra uma altura de e uma largura de , e o dado também indica razão 2. Para consistência com e com a figura, adoto as dimensões da seção retangular: - altura (maior lado)
, - largura (menor lado)
.
Se isso estiver diferente do seu enunciado original, os passos abaixo mostram onde as dimensões entram nas fórmulas — com as dimensões corretas os cálculos mudam linearmente.
- altura (maior lado)
O que vamos calcular nos próximos passos:
- (i) momento fletor na seção devido à força lateral e segundo momento de área;
- (ii) constante torsional
da seção usando ; - (iii) ângulo de torção
; - (iv) tensões normais por flexão
nos pontos A,B,C (coordenadas y); - (v) tensões cisalhantes por torção nos pontos A,B,C usando os coeficientes
; - (vi) para cada ponto montar o estado plano de tensões
, calcular as tensões principais e a máxima tensão cisalhante e os parâmetros do círculo de Mohr.
Passo 2
Primeiro calculo o momento fletor na seção (devido à força lateral
aplicada na extremidade) e o momento de inércia da seção retangular.
- Momento fletor na seção (no apoio):
- Segundo momento de área (reta neutra horizontal, flexão na direção vertical). Para retângulo de altura
e largura (altura ao longo de ), o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centro e é paralelo à largura é:
Substituindo
e
:
Explicação didática rápida (por que uso esta fórmula):
- A fórmula
é a conhecida expressão do retângulo em relação ao eixo que corta o centro paralelo ao lado . Aqui é a dimensão na direção em que as fibras alongam/comprimem pela flexão (vertical).
Passo 3
Calculo as tensões normais por flexão nos pontos solicitados. A fórmula da tensão de flexão na fibra a uma distância
do neutro é:
onde
-
é a tensão normal (positiva para tração, negativa para compressão dependendo do sentido do momento), -
é o momento fletor na seção, -
é a distância da fibra ao eixo neutro (no nosso caso o eixo neutro está no centro da altura), -
é o momento de inércia calculado.
Coordenadas dos pontos (peguei da imagem):
- Ponto
: no lado superior, centro da face -> . - Ponto
: centro vertical da face frontal -> (fica no neutro verticalmente). - Ponto
: canto superior frontal -> tem a mesma coordenada vertical de , .
Agora as tensões:
Observação: o sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento; aqui apresentei o módulo e tomarei
como tensão normal (tensão de tração no topo) — se o sentido do carregamento for o contrário, o sinal troca de senso, mas o módulo e as fórmulas de combinação com cisalhamento seguem iguais.
Passo 4
Calculo a constante torsional
e o ângulo de torção. Para seções retangulares é comum usar a forma tabulada
onde
depende da razão
. O enunciado forneceu
para
. (Explicação:
é a “polar torsional constant” que mede a resistência à torção; para retângulos existe um fator tabulado
que condensa a solução de Prandtl.)
Substituindo:
Agora o ângulo de torção da extremidade livre (ângulo relativo ao apoio), pela fórmula da torção para eixo prismático:
Substituindo
,
,
,
:
Converter para graus (apenas para intuição):
Pequena intuição: é um ângulo muito pequeno, típico de seções relativamente rígidas com grandes
.
Passo 5
Calculo as tensões cisalhantes na seção devido à torção nos pontos
.
Uso a forma prática tabulada (usada em muitos manuais): a tensão cisalhante na superfície em pontos característicos pode ser escrita como
onde
é um coeficiente adimensional que depende da posição do ponto na borda. O enunciado fornece
e
para
. Adoto os seguintes usos (conforme tabelas usuais para retângulo e conforme a disposição dos pontos na figura):
- ponto
(meio do lado maior, topo no centro): coeficiente ; - ponto
(meio do lado menor, centro lateral): coeficiente ; - ponto
(canto superior): coeficiente aproximado (valor típico em tabelas é próximo dessa soma).
Primeiro avalio a base:
Agora as tensões:
Observação didática:
- A distribuição de tensões cisalhantes por torção em seção retangular não é uniforme; esses coeficientes tabulados permitem obter valores práticos em pontos de interesse sem resolver a equação de Prandtl detalhadamente.
Passo 6
Agora combino as tensões normais (por flexão) com as tensões cisalhantes (por torção) para obter o estado plano de tensões em cada ponto e calcular tensões principais e máxima tensão cisalhante. Convenções:
- tomo
como a tensão normal ao longo do eixo da viga (tensão de flexão); -
(não há outra tensão normal no plano ortogonal considerado); -
é a tensão cisalhante encontrada no passo anterior.
Fórmulas (estado plano):
- tensões principais:
- máxima tensão cisalhante (plana):
- centro do círculo de Mohr:
. - raio do círculo:
.
Faço os cálculos numéricos para cada ponto (unidades
).
Ponto A:
-
, , . -
. -
. -
. -
. - Centro do círculo
e raio . - Ângulo da direção principal (plano) relativo à base:
, logo e .
Ponto B:
-
, . -
. -
. -
, . - Centro
, raio . -
tende ao infinito (dividindo por zero), logo e — as direções principais estão a em relação ao elemento original.
Ponto C:
-
, . -
. -
. -
. -
. - Centro
, raio . -
, então , .
Passo 7
Isolamentos (descrição das forças no elemento) e instruções para traçar os círculos de Mohr (como fazer em prova):
-
Isolamento do elemento em
(elemento plano com face normal ao eixo da viga): sobre a face aparecem - tensão normal
(ao longo do eixo da viga), - cisalhamento
.
No elemento perpendicular, aparecem seus correspondentes para equilibrar (a tensão normal na face oposta e o cisalhamento simétrico).
Para traçar o círculo de Mohr: plote no planoos pontos e . O centro é e o raio . As tensões principais ficam nos pontos e .
- tensão normal
-
Isolamento em
: -
, . - Centro
, raio . O círculo de Mohr é centrado na origem, com raio igual à tensão cisalhante.
-
-
Isolamento em
: -
, . - Centro
, raio .
-
Dica prática para desenhar o círculo de Mohr na prova:
- No eixo horizontal coloque
(normal) e no vertical (cisalhante). - Marque o ponto correspondente ao estado original
e o ponto oposto . - Centro é o ponto médio entre esses dois; raio é a distância do centro até qualquer um deles.
- Interseções do círculo com o eixo
dão e . O ângulo no círculo dá a orientação das direções principais (cada 1° no círculo corresponde a real).
Resposta
(a)
.\n
(b) Tensões principais e máxima tensão cisalhante (unidades ):
(b) Tensões principais e máxima tensão cisalhante (unidades
- Ponto
: , ; .\n - Ponto
: , ; .\n - Ponto
: , ; .\n
(c) Círculos de Mohr (centro e raio): -
: centro , raio (ângulo da direção principal ).\n -
: centro , raio ( ).\n -
: centro , raio (ângulo ).