2 - Para a viga de seção retangular (10 \times 15) \mathrm{cm}^{2}, de aço \left(\mathrm{G}=0,8 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}\right), pede-se:
a) Ângulo de torção da extremidade livre;
b) Tensões normais principais e máxima tensão cisalhante para os pontos A , B e C;
c) Isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr.
DADOS: para \mathrm{a} / \mathrm{b}=2 ; \alpha=0,246 ; \beta=0,229 ; \eta=0,795

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) o ângulo de torção da extremidade livre da viga;
  • (b) as tensões principais normais e a máxima tensão cisalhante para os pontos A, B e C;
  • (c) isolar estes pontos e traçar o círculo de Mohr (ou seja, determinar centro e raio do círculo para cada ponto, além das direções principais).
Informações/dados fornecidos (peguei estes valores da imagem/legenda e do enunciado):
  • Comprimento da viga (distância da força até o apoio): L=1{,}5\\ \mathrm{m}=150\\ \mathrm{cm} (peguei da imagem).
  • Torção aplicada no extremo (momento torçor): T=45\,000\\ \mathrm{Kgf\cdot cm} (peguei da imagem; unidade Kgf·cm).
  • Força lateral na extremidade: V=3{,}500\\ \mathrm{Kgf} (peguei da imagem). Ela gera o momento fletor no apoio M=V\cdot L.
  • No enunciado aparecem coeficientes para razão das semi-dimensões a/b=2 e os números \alpha=0{,}246, \beta=0{,}229, \eta=0{,}795 (fornecidos).
  • Módulo de cisalhamento do aço: G=0{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^2} (dado).
Observação importante sobre dimensões da seção (ambiguidade na figura/enunciado):
  • O texto inicial falou em seção (10\times15)\\ \mathrm{cm}^2, mas a imagem mostra uma altura de 30\\ \mathrm{cm} e uma largura de 15\\ \mathrm{cm}, e o dado a/b=2 também indica razão 2. Para consistência com a/b=2 e com a figura, adoto as dimensões da seção retangular:
    • altura (maior lado) a=30\\ \mathrm{cm},
    • largura (menor lado) b=15\\ \mathrm{cm}.
      Se isso estiver diferente do seu enunciado original, os passos abaixo mostram onde as dimensões entram nas fórmulas — com as dimensões corretas os cálculos mudam linearmente.
O que vamos calcular nos próximos passos:
  • (i) momento fletor na seção devido à força lateral e segundo momento de área;
  • (ii) constante torsional J da seção usando \alpha;
  • (iii) ângulo de torção \theta = TL/(GJ);
  • (iv) tensões normais por flexão \sigma = M y/I nos pontos A,B,C (coordenadas y);
  • (v) tensões cisalhantes por torção nos pontos A,B,C usando os coeficientes \beta,\eta;
  • (vi) para cada ponto montar o estado plano de tensões (\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}), calcular as tensões principais e a máxima tensão cisalhante e os parâmetros do círculo de Mohr.

Passo 2

Primeiro calculo o momento fletor na seção (devido à força lateral V aplicada na extremidade) e o momento de inércia da seção retangular.
  • Momento fletor na seção (no apoio):
M = V\cdot L = 3{,}500\\ \mathrm{Kgf}\times 150\\ \mathrm{cm} = 52{,}500\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}.
  • Segundo momento de área (reta neutra horizontal, flexão na direção vertical). Para retângulo de altura a e largura b (altura ao longo de y), o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centro e é paralelo à largura é:
I = \frac{b\,a^{3}}{12}.
Substituindo a=30\\ \mathrm{cm} e b=15\\ \mathrm{cm}:
I = \frac{15\cdot 30^{3}}{12} = \frac{15\cdot 27{,}000}{12} = \frac{405{,}000}{12} = 33{,}750\\ \mathrm{cm^{4}}.
Explicação didática rápida (por que uso esta fórmula):
  • A fórmula I=\dfrac{b a^{3}}{12} é a conhecida expressão do retângulo em relação ao eixo que corta o centro paralelo ao lado b. Aqui a é a dimensão na direção em que as fibras alongam/comprimem pela flexão (vertical).

Passo 3

Calculo as tensões normais por flexão nos pontos solicitados. A fórmula da tensão de flexão na fibra a uma distância y do neutro é:
\sigma = \frac{M\,y}{I},
onde
  • \sigma é a tensão normal (positiva para tração, negativa para compressão dependendo do sentido do momento),
  • M é o momento fletor na seção,
  • y é a distância da fibra ao eixo neutro (no nosso caso o eixo neutro está no centro da altura),
  • I é o momento de inércia calculado.
Coordenadas dos pontos (peguei da imagem):
  • Ponto A: no lado superior, centro da face -> y_A = +\dfrac{a}{2} = +15\\ \mathrm{cm}.
  • Ponto B: centro vertical da face frontal -> y_B = 0\\ \mathrm{cm} (fica no neutro verticalmente).
  • Ponto C: canto superior frontal -> tem a mesma coordenada vertical de A, y_C=+15\\ \mathrm{cm}.
Agora as tensões:
\sigma_A = \sigma_C = \frac{M\cdot 15}{I} = \frac{52{,}500\cdot 15}{33{,}750} = \frac{787{,}500}{33{,}750} = 23{,}333\overline{3}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
\sigma_B = \frac{M\cdot 0}{I} = 0\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Observação: o sinal (tração ou compressão) depende do sentido do momento; aqui apresentei o módulo e tomarei \sigma_A=+23{,}33 como tensão normal (tensão de tração no topo) — se o sentido do carregamento for o contrário, o sinal troca de senso, mas o módulo e as fórmulas de combinação com cisalhamento seguem iguais.

Passo 4

Calculo a constante torsional J e o ângulo de torção. Para seções retangulares é comum usar a forma tabulada
J = \alpha\, a\, b^{3},
onde \alpha depende da razão a/b. O enunciado forneceu \alpha=0{,}246 para a/b=2. (Explicação: J é a “polar torsional constant” que mede a resistência à torção; para retângulos existe um fator tabulado \alpha que condensa a solução de Prandtl.)
Substituindo:
J = 0{,}246 \times 30\\ \mathrm{cm} \times (15\\ \mathrm{cm})^{3} = 0{,}246\times 30 \times 3{,}375 = 24{,}907{,}5\\ \mathrm{cm^{4}}.
Agora o ângulo de torção da extremidade livre (ângulo relativo ao apoio), pela fórmula da torção para eixo prismático:
\theta = \frac{T\,L}{G\,J}.
Substituindo T=45{,}000\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}, L=150\\ \mathrm{cm}, G=0{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}, J=24{,}907{,}5\\ \mathrm{cm^{4}}:
\theta = \frac{45{,}000\cdot 150}{0{,}8\times10^{6}\cdot 24{,}907{,}5} = \frac{6{,}750{,}000}{19{,}926{,}000{,}000} \approx 3{,}39\times 10^{-4}\\ \mathrm{rad}.
Converter para graus (apenas para intuição):
\theta \approx 3{,}39\times 10^{-4}\times \frac{180}{\pi} \approx 0{,}0194^\circ.
Pequena intuição: é um ângulo muito pequeno, típico de seções relativamente rígidas com grandes GJ.

Passo 5

Calculo as tensões cisalhantes na seção devido à torção nos pontos A,B,C.
Uso a forma prática tabulada (usada em muitos manuais): a tensão cisalhante na superfície em pontos característicos pode ser escrita como
\tau = \left(\frac{T}{a\,b^{2}}\right)\times k,
onde k é um coeficiente adimensional que depende da posição do ponto na borda. O enunciado fornece \beta e \eta para a/b=2. Adoto os seguintes usos (conforme tabelas usuais para retângulo e conforme a disposição dos pontos na figura):
  • ponto A (meio do lado maior, topo no centro): coeficiente k=\eta;
  • ponto B (meio do lado menor, centro lateral): coeficiente k=\beta;
  • ponto C (canto superior): coeficiente aproximado k=\eta+\beta (valor típico em tabelas é próximo dessa soma).
Primeiro avalio a base:
\frac{T}{a\,b^{2}}=\frac{45{,}000}{30\cdot 15^{2}}=\frac{45{,}000}{30\cdot 225}=\frac{45{,}000}{6{,}750}=6{,}666\overline{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Agora as tensões:
\tau_A = \eta\cdot\frac{T}{a\,b^{2}} = 0{,}795\times 6{,}666\overline{6}=5{,}300\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}\\ (\text{aprox.}).
\tau_B = \beta\cdot\frac{T}{a\,b^{2}} = 0{,}229\times 6{,}666\overline{6}=1{,}5267\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}\\ (\text{aprox.}).
\tau_C \approx (\eta+\beta)\cdot\frac{T}{a\,b^{2}} = 1{,}024\times 6{,}666\overline{6}=6{,}8267\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Observação didática:
  • A distribuição de tensões cisalhantes por torção em seção retangular não é uniforme; esses coeficientes tabulados permitem obter valores práticos em pontos de interesse sem resolver a equação de Prandtl detalhadamente.

Passo 6

Agora combino as tensões normais (por flexão) com as tensões cisalhantes (por torção) para obter o estado plano de tensões em cada ponto e calcular tensões principais e máxima tensão cisalhante. Convenções:
  • tomo \sigma_x como a tensão normal ao longo do eixo da viga (tensão de flexão);
  • \sigma_y=0 (não há outra tensão normal no plano ortogonal considerado);
  • \tau_{xy} é a tensão cisalhante encontrada no passo anterior.
Fórmulas (estado plano):
  • tensões principais:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}.
  • máxima tensão cisalhante (plana):
\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}.
  • centro do círculo de Mohr: C = \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
  • raio do círculo: R=\tau_{\max}.
Faço os cálculos numéricos para cada ponto (unidades \mathrm{Kgf/cm^{2}}).
Ponto A:
  • \sigma_x=\sigma_A=23{,}333\overline{3}, \sigma_y=0, \tau_{xy}=\tau_A=5{,}300.
  • \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\dfrac{23{,}333\overline{3}}{2}=11{,}666\overline{6}.
  • \tau_{\max}=\sqrt{11{,}666\overline{6}^{2}+5{,}300^{2}}=\sqrt{136{,}111{,}11+28{,}090}=12{,}817\\ (\text{aprox.}).
  • \sigma_{1}=\;11{,}666\overline{6}+12{,}817=24{,}483\\ (\text{aprox.}).
  • \sigma_{2}=\;11{,}666\overline{6}-12{,}817=-1{,}150\\ (\text{aprox.}).
  • Centro do círculo C_A=11{,}667 e raio R_A=12{,}817.
  • Ângulo da direção principal (plano) relativo à base: \tan 2\phi_A=\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\dfrac{2\cdot 5{,}300}{23{,}333\overline{3}}=0{,}4543, logo 2\phi_A\approx 24{,}49^\circ e \phi_A\approx 12{,}24^\circ.
Ponto B:
  • \sigma_x=\sigma_B=0, \tau_{xy}=\tau_B=1{,}5267.
  • \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=0.
  • \tau_{\max}=1{,}5267.
  • \sigma_{1}=+1{,}5267, \sigma_{2}=-1{,}5267.
  • Centro C_B=0, raio R_B=1{,}5267.
  • \tan 2\phi_B tende ao infinito (dividindo por zero), logo 2\phi_B=90^\circ e \phi_B=45^\circ — as direções principais estão a 45^\circ em relação ao elemento original.
Ponto C:
  • \sigma_x=\sigma_C=23{,}333\overline{3}, \tau_{xy}=\tau_C=6{,}8267.
  • \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=11{,}666\overline{6}.
  • \tau_{\max}=\sqrt{11{,}666\overline{6}^{2}+6{,}8267^{2}}=\sqrt{136{,}111+46{,}609}=13{,}516\\ (\text{aprox.}).
  • \sigma_{1}=11{,}666\overline{6}+13{,}516=25{,}182\\ (\text{aprox.}).
  • \sigma_{2}=11{,}666\overline{6}-13{,}516=-1{,}849\\ (\text{aprox.}).
  • Centro C_C=11{,}667, raio R_C=13{,}516.
  • \tan 2\phi_C=\dfrac{2\cdot 6{,}8267}{23{,}333\overline{3}}=0{,}5855, então 2\phi_C\approx 30{,}32^\circ, \phi_C\approx 15{,}16^\circ.

Passo 7

Isolamentos (descrição das forças no elemento) e instruções para traçar os círculos de Mohr (como fazer em prova):
  • Isolamento do elemento em A (elemento plano com face normal ao eixo da viga): sobre a face aparecem
    • tensão normal \sigma_x=\;23{,}33\\ \mathrm{Kgf/cm^2} (ao longo do eixo da viga),
    • cisalhamento \tau_{xy}=5{,}30\\ \mathrm{Kgf/cm^2}.
      No elemento perpendicular, aparecem seus correspondentes para equilibrar (a tensão normal na face oposta e o cisalhamento simétrico).
      Para traçar o círculo de Mohr: plote no plano (\sigma,\tau) os pontos (\sigma_x,\tau_{xy}) e (\sigma_y,-\tau_{xy})=(0,-5{,}30). O centro é C_A=11{,}667 e o raio R_A=12{,}817. As tensões principais ficam nos pontos (\sigma_1,0) e (\sigma_2,0).
  • Isolamento em B:
    • \sigma_x=0, \tau_{xy}=1{,}5267.
    • Centro C_B=0, raio R_B=1{,}5267. O círculo de Mohr é centrado na origem, com raio igual à tensão cisalhante.
  • Isolamento em C:
    • \sigma_x=23{,}33, \tau_{xy}=6{,}8267.
    • Centro C_C=11{,}667, raio R_C=13{,}516.
Dica prática para desenhar o círculo de Mohr na prova:
  1. No eixo horizontal coloque \sigma (normal) e no vertical \tau (cisalhante).
  2. Marque o ponto correspondente ao estado original (\sigma_x,\tau_{xy}) e o ponto oposto (\sigma_y,-\tau_{xy}).
  3. Centro é o ponto médio entre esses dois; raio é a distância do centro até qualquer um deles.
  4. Interseções do círculo com o eixo \tau=0 dão \sigma_1 e \sigma_2. O ângulo no círculo dá a orientação das direções principais (cada 1° no círculo corresponde a 1/2^\circ real).

Resposta

(a) \theta \approx 3{,}39\times 10^{-4}\\ \mathrm{rad}\approx 0{,}0194^\circ.\n
(b) Tensões principais e máxima tensão cisalhante (unidades \mathrm{Kgf/cm^{2}}):
  • Ponto A: \sigma_{1}\approx 24{,}48, \sigma_{2}\approx -1{,}15; \tau_{\max}\approx 12{,}82.\n
  • Ponto B: \sigma_{1}\approx 1{,}527, \sigma_{2}\approx -1{,}527; \tau_{\max}\approx 1{,}527.\n
  • Ponto C: \sigma_{1}\approx 25{,}18, \sigma_{2}\approx -1{,}85; \tau_{\max}\approx 13{,}52.\n
    (c) Círculos de Mohr (centro e raio):
  • A: centro C_A\approx 11{,}667, raio R_A\approx 12{,}817 (ângulo da direção principal \phi_A\approx 12{,}24^\circ).\n
  • B: centro C_B=0, raio R_B\approx 1{,}527 ( \phi_B=45^\circ).\n
  • C: centro C_C\approx 11{,}667, raio R_C\approx 13{,}516 (ângulo \phi_C\approx 15{,}16^\circ).

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