Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
y^prime=(x+y)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial: $ y’ = (x + y)^2 $. Nosso objetivo é descobrir de que tipo essa equação é e qual método a gente vai usar para resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de primeira ordem e os métodos básicos para resolvê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo dessa equação diferencial. Aqui, temos $ y’ $ igual a uma função de $ x $ e $ y $, ou seja, $ y’ = (x + y)^2 $. Isso nos mostra que é uma equação diferencial de primeira ordem, porque a derivada é de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é linear ou não linear. Uma equação linear tem a forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, temos $ y’ = (x + y)^2 $, o que não se encaixa nessa forma por causa do termo $ y^2 $. Então, essa é uma equação não linear.

Passo 4

Como a equação não é linear, precisamos pensar em outros métodos para resolvê-la. Uma boa estratégia aqui é fazer uma substituição de variáveis para simplificar a equação. Observando a expressão $ x + y $, vamos tentar definir uma nova variável $ z = x + y $.

Passo 5

Com $ z = x + y $, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $: $ z’ = 1 + y’ $. Mas sabemos que $ y’ = z^2 $ (porque $ y’ = (x + y)^2 = z^2 $). Então, substituindo, temos $ z’ = 1 + z^2 $.

Passo 6

Agora, a equação ficou $ z’ = 1 + z^2 $, que é uma equação diferencial separável. Isso significa que a gente pode separar as variáveis $ z $ e $ x $ dos lados opostos da igualdade e então integrar.

Passo 7

Vamos separar os termos: $ \frac{dz}{1 + z^2} = dx $. Agora, vamos integrar os dois lados. A integral de $ \frac{1}{1 + z^2} $ em relação a $ z $ é $ \arctan(z) $, e a integral de $ dx $ é $ x + C $, onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Então, temos $ \arctan(z) = x + C $. Lembrando que $ z = x + y $, podemos substituir de volta: $ \arctan(x + y) = x + C $.

Resposta

A equação diferencial $ y’ = (x + y)^2 $ é uma equação diferencial de primeira ordem não linear. O método de resolução utilizado foi a substituição de variáveis seguida por resolver uma equação diferencial separável.

Exercícios relacionados