Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
y^{\prime}-2 x y=x^{3}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y' - 2x\,y = x^3
e pede que se determine o tipo da equação e se indique o método de resolução. Informações dadas:
  • A equação envolve a função y(x) e sua derivada y'(x).
  • O termo de “força” (lado direito) é x^3.
    O que se pede:
  • Classificar a equação (que tipo é).
  • Indicar o método de resolução (e, preferencialmente, obter a solução).

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão usada para decidir métodos, colocamos o termo com y' primeiro e o termo proporcional a y com sinal positivo:
y' + p(x)\,y = q(x).
Comparando com a equação dada, identifica-se
p(x) = -2x,\qquad q(x)=x^3.
Aqui só foi feita uma reorganização algébrica para expor os coeficientes p(x) e q(x).

Passo 3

Escolha do método (explicando por que): a equação escrita em \,y'+p(x)y=q(x)\, é uma equação com a derivada de primeira ordem e y aparecendo linearmente (sem produtos não-lineares como y^2 ou \sin y). Para esse tipo de equação o método mais direto e padrão é o do fator integrante (também chamado fator de integração), porque transforma o lado esquerdo numa derivada total de um produto \mu(x)y, permitindo integrar facilmente. Outros métodos (por exemplo, métodos para equações separáveis ou exatas) não se aplicam diretamente aqui, pois a equação não é separável nem foi dada como exata.

Passo 4

Explicação do método do fator integrante (aula rápida e didática):
  • Objetivo: encontrar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y(x). Ou seja, queremos
\mu(x)\,y' + \mu(x)\,p(x)\,y = (\mu(x)\,y)'.
  • Lembrando que (\mu y)' = \mu y' + \mu' y, portanto precisamos que \mu' seja igual a \mu p, isto é
\mu'(x) = p(x)\,\mu(x).
  • Isso é uma equação diferencial simples para \mu; a solução geral é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
  • Depois de encontrar \mu, multiplicamos a equação original por \mu e integramos ambos os lados, obtendo
\mu(x)\,y(x)=\int \mu(x)\,q(x)\,dx + C,
e então isolamos y(x).

Passo 5

Aplicando isso ao caso concreto: já vimos que p(x)=-2x. Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big)=\exp\!\Big(\int -2x\,dx\Big)=\exp(-x^2).
Aqui usei a primitiva \int -2x\,dx = -x^2, porque a derivada de -x^2 é -2x.

Passo 6

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x^2}:
e^{-x^2}y' - 2x e^{-x^2} y = x^3 e^{-x^2}.
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é precisamente a derivada do produto e^{-x^2}y, pois (e^{-x^2})' = -2x e^{-x^2}. Logo
\big(e^{-x^2}y\big)' = x^3 e^{-x^2}.

Passo 7

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x^2}y = \int x^3 e^{-x^2}\,dx + C.
Precisamos calcular a integral \int x^3 e^{-x^2}\,dx. Fazemos uma substituição simples:
  • Seja t = x^2. Então dt = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{dt}{2}.
  • Escrevemos x^3 dx = x^2 \cdot x\,dx = t\cdot \dfrac{dt}{2}.
    Portanto
\int x^3 e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int t e^{-t}\,dt.
Agora integramos por partes ou usamos a primitiva direta: para \int t e^{-t}\,dt tomamos u=t, dv=e^{-t}dt, então du=dt, v=-e^{-t}, e obtemos
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C = -(t+1)e^{-t} + C.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} e substituindo t=x^2 volta-se à variável x:
\int x^3 e^{-x^2}\,dx = -\frac{1}{2}(x^2+1)e^{-x^2} + C.

Passo 8

Voltando para a expressão do produto e^{-x^2}y:
e^{-x^2}y = -\frac{1}{2}(x^2+1)e^{-x^2} + C.
Agora isolamos y multiplicando ambos os lados por e^{x^2}:
y(x) = -\frac{1}{2}(x^2+1) + C e^{x^2}.
Esta é a solução geral da equação diferencial, com C constante arbitrária de integração.

Passo 9

Comentário final de verificação e interpretação rápida (curtinha): a solução tem uma parte particular polinomial -\tfrac{1}{2}(x^2+1) que equilibra o termo forçante x^3 e uma parte complementar C e^{x^2} que corresponde à solução da homogênea associada y'-2xy=0. Se desejar, pode-se derivar y(x) e substituir de volta na equação original para checar que satisfaz a igualdade.

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.
Método: fator integrante (integrating factor).
Solução geral: y(x)=C e^{x^2}-\dfrac{x^2+1}{2}.

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