Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
y^{\prime}-2 x y=x^{3}
y^{\prime}-2 x y=x^{3}
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que se determine o tipo da equação e se indique o método de resolução. Informações dadas:
- A equação envolve a função
e sua derivada . - O termo de “força” (lado direito) é
.
O que se pede: - Classificar a equação (que tipo é).
- Indicar o método de resolução (e, preferencialmente, obter a solução).
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma padrão usada para decidir métodos, colocamos o termo com
primeiro e o termo proporcional a
com sinal positivo:
Comparando com a equação dada, identifica-se
Aqui só foi feita uma reorganização algébrica para expor os coeficientes
e
.
Passo 3
Escolha do método (explicando por que): a equação escrita em
é uma equação com a derivada de primeira ordem e
aparecendo linearmente (sem produtos não-lineares como
ou
). Para esse tipo de equação o método mais direto e padrão é o do fator integrante (também chamado fator de integração), porque transforma o lado esquerdo numa derivada total de um produto
, permitindo integrar facilmente. Outros métodos (por exemplo, métodos para equações separáveis ou exatas) não se aplicam diretamente aqui, pois a equação não é separável nem foi dada como exata.
Passo 4
Explicação do método do fator integrante (aula rápida e didática):
- Objetivo: encontrar uma função
tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo se torne a derivada de . Ou seja, queremos
- Lembrando que
, portanto precisamos que seja igual a , isto é
- Isso é uma equação diferencial simples para
; a solução geral é
- Depois de encontrar
, multiplicamos a equação original por e integramos ambos os lados, obtendo
e então isolamos
.
Passo 5
Aplicando isso ao caso concreto: já vimos que
. Calculamos o fator integrante
Aqui usei a primitiva
, porque a derivada de
é
.
Passo 6
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é precisamente a derivada do produto
, pois
. Logo
Passo 7
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Precisamos calcular a integral
. Fazemos uma substituição simples:
- Seja
. Então , ou seja . - Escrevemos
.
Portanto
Agora integramos por partes ou usamos a primitiva direta: para
tomamos
,
, então
,
, e obtemos
Multiplicando por
e substituindo
volta-se à variável
:
Passo 8
Voltando para a expressão do produto
:
Agora isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Esta é a solução geral da equação diferencial, com
constante arbitrária de integração.
Passo 9
Comentário final de verificação e interpretação rápida (curtinha): a solução tem uma parte particular polinomial
que equilibra o termo forçante
e uma parte complementar
que corresponde à solução da homogênea associada
. Se desejar, pode-se derivar
e substituir de volta na equação original para checar que satisfaz a igualdade.
Resposta
Tipo: equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.
Método: fator integrante (integrating factor).
Solução geral: .
Método: fator integrante (integrating factor).
Solução geral: