Determine e classifique os pontos críticos de cada função:
f(x, y)=3 x^{2}+3 y^{2}-3 x^{2} y+y^{3}+2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=3x^{2}+3y^{2}-3x^{2}y+y^{3}+2 — isto é, os pontos onde o gradiente é zero — e (2) classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Informações dadas e observações úteis:
  • A função f é um polinômio em x e y, portanto é diferenciável em todo \mathbb{R}^2. Logo vale procurar pontos críticos resolvendo \nabla f=0.
  • Para classificar pontos críticos em duas variáveis usaremos o teste das derivadas segundas (Hessiano): calculamos f_{xx},f_{yy},f_{xy}, o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} e aplicamos as regras padrão:
    • Se D>0 e f_{xx}>0: mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0: máximo local.
    • Se D<0: ponto de sela.
    • Se D=0: teste inconclusivo.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras explicando cada passo.
Regra usada: derivada de x^{n} é n x^{n-1}; derivada de produto g(x,y)\,h(x,y) aplica-se por componentes quando necessário.
A função é f(x,y)=3x^{2}+3y^{2}-3x^{2}y+y^{3}+2.
Derivada parcial em relação a x:
  • O termo 3x^{2} 6x.
  • O termo -3x^{2}y é produto de x-parte x^{2} e fator y (tratado como constante para derivada em x), então dá -3\cdot 2x\cdot y=-6xy.
  • Os outros termos não dependem de x (ou são constantes) e dão 0.
Portanto
f_x(x,y)=6x-6xy=6x(1-y).
Derivada parcial em relação a y:
  • O termo 3y^{2} 6y.
  • O termo -3x^{2}y -3x^{2} (pois derivando em y o y vira 1).
  • O termo y^{3} 3y^{2}.
  • Outros termos não dependem de y.
Portanto
f_y(x,y)=6y-3x^{2}+3y^{2}.

Passo 3

Encontrar pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f=0\), ou seja: \[\begin{cases} f_x=6x(1-y)=0,\\[4pt] f_y=6y-3x^{2}+3y^{2}=0. \end{cases}
Da primeira equação 6x(1-y)=0\] tiramos duas possibilidades: - Caso A: \(x=0.
- Caso B: y=1.
Tratar cada caso separadamente.
Caso A: x=0. Substituindo em f_y:
f_y(0,y)=6y+3y^{2}=3y(2+y)=0.
Isto dá y=0 ou y=-2. Portanto obtemos os pontos críticos (0,0) e (0,-2).
Caso B: y=1. Substituindo em f_y:
f_y(x,1)=6\cdot1-3x^{2}+3\cdot1^{2}=9-3x^{2}=0.
Isto dá 3x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}. Portanto obtemos os pontos críticos (\sqrt{3},1) e (-\sqrt{3},1).
Resumo dos pontos críticos encontrados:
(0,0),\quad (0,-2),\quad (\sqrt{3},1),\quad (-\sqrt{3},1).]

Passo 4

Explicar e preparar o teste das derivadas segundas (Hessiano).
Definições:
  • f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} é a derivada parcial segunda de f em x.
  • f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
  • f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} (igual a f_{yx} se f é suave, o que é o caso).
O determinante do Hessiano em (x,y) é
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Aplicam-se as regras de classificação citadas no Passo 1.

Passo 5

Calcular as derivadas segundas explicitamente.
A partir de f_x=6x(1-y):
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6x(1-y)\bigr)=6(1-y).
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x(1-y)\bigr)=6x\cdot(-1)=-6x.
A partir de f_y=6y-3x^{2}+3y^{2}:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6y-3x^{2}+3y^{2}\bigr)=6+6y.
Agora o determinante:
\begin{aligned} D(x,y)&=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\\[4pt] &=6(1-y)\bigl(6+6y\bigr)-(-6x)^{2}\\[4pt] &=36(1-y)(1+y)-36x^{2}\\[4pt] &=36\bigl(1-y^{2}-x^{2}\bigr)\\[4pt] &=36\bigl(1-x^{2}-y^{2}\bigr). \end{aligned}
Observação: essa forma simplificada é muito conveniente para avaliar D nos pontos críticos.]

Passo 6

Avaliar D e f_{xx} em cada ponto crítico e classificar.
  1. Ponto (0,0):
D(0,0)=36\bigl(1-0-0\bigr)=36>0, \qquad f_{xx}(0,0)=6(1-0)=6>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, (0,0) é um mínimo local.
  1. Ponto (0,-2):
D(0,-2)=36\bigl(1-0-(-2)^{2}\bigr)=36(1-4)=36(-3)=-108<0.
Como D<0, (0,-2) é um ponto de sela.
  1. Ponto (\sqrt{3},1):
    Calcular x^{2}+y^{2}=3+1=4, então
D(\sqrt{3},1)=36(1-4)=36(-3)=-108<0.
Logo D<0 e o ponto (\sqrt{3},1) é um ponto de sela.
  1. Ponto (-\sqrt{3},1):
    Mesma soma de quadrados x^{2}+y^{2}=4, então
D(-\sqrt{3},1)=36(1-4)=-108<0,
portanto (-\sqrt{3},1) também é um ponto de sela.

Passo 7

Recapitulando de forma clara e curta (para anotar na prova): encontramos quatro pontos críticos e classificamos usando o determinante do Hessiano e o sinal de f_{xx}. Só (0,0) é mínimo local; os outros três são pontos de sela.

Resposta

(0,0) — mínimo local
(0,-2) — ponto de sela
(\sqrt{3},1) — ponto de sela
(-\sqrt{3},1) — ponto de sela

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