Determine e classifique os pontos críticos de cada função:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos críticos da função
— isto é, os pontos onde o gradiente é zero — e (2) classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Informações dadas e observações úteis:
- A função
é um polinômio em e , portanto é diferenciável em todo . Logo vale procurar pontos críticos resolvendo . - Para classificar pontos críticos em duas variáveis usaremos o teste das derivadas segundas (Hessiano): calculamos
, o determinante e aplicamos as regras padrão: - Se
e : mínimo local. - Se
e : máximo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo.
- Se
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras explicando cada passo.
Regra usada: derivada de
é
; derivada de produto
aplica-se por componentes quando necessário.
A função é
.
Derivada parcial em relação a
:
- O termo
dá . - O termo
é produto de -parte e fator (tratado como constante para derivada em ), então dá . - Os outros termos não dependem de
(ou são constantes) e dão 0.
Portanto
Derivada parcial em relação a
:
- O termo
dá . - O termo
dá (pois derivando em o vira 1). - O termo
dá . - Outros termos não dependem de
.
Portanto
Passo 3
Encontrar pontos críticos resolvendo o sistema
Da primeira equação
.
- Caso B: .
- Caso B:
Tratar cada caso separadamente.
Caso A:
. Substituindo em
:
Isto dá
ou
. Portanto obtemos os pontos críticos
e
.
Caso B:
. Substituindo em
:
Isto dá
. Portanto obtemos os pontos críticos
e
.
Resumo dos pontos críticos encontrados:
Passo 4
Explicar e preparar o teste das derivadas segundas (Hessiano).
Definições:
-
é a derivada parcial segunda de em . -
. -
(igual a se é suave, o que é o caso).
O determinante do Hessiano em
é
Aplicam-se as regras de classificação citadas no Passo 1.
Passo 5
Calcular as derivadas segundas explicitamente.
A partir de
:
A partir de
:
Agora o determinante:
Observação: essa forma simplificada é muito conveniente para avaliar
nos pontos críticos.]
Passo 6
Avaliar
e
em cada ponto crítico e classificar.
- Ponto
:
Como
e
,
é um mínimo local.
- Ponto
:
Como
,
é um ponto de sela.
- Ponto
:
Calcular, então
Logo
e o ponto
é um ponto de sela.
- Ponto
:
Mesma soma de quadrados, então
portanto
também é um ponto de sela.
Passo 7
Recapitulando de forma clara e curta (para anotar na prova): encontramos quatro pontos críticos e classificamos usando o determinante do Hessiano e o sinal de
. Só
é mínimo local; os outros três são pontos de sela.