Calcule a área da região que está na intersecção dos círculos r=\cos 2 \theta e r=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está na intersecção dos dois gráficos dados em coordenadas polares:
  • a curva r=\cos 2\theta;
  • a curva r=1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As duas equações estão em coordenadas polares, isto é, pontos descritos por (r,\theta).
  • A função \cos 2\theta toma valores entre -1 e 1, logo -1 \le \cos 2\theta \le 1.
  • A pergunta é: qual a área da região comum aos dois conjuntos determinados por essas curvas (ou seja, a área que pertence simultaneamente à região limitada por r=\cos 2\theta e à região limitada por r=1).

Passo 2

Entender qualitativamente as curvas (sem ainda calcular): o que representa cada uma.
  • A curva r=1 é o círculo de raio 1 centrado na origem (o disco interior é todos os pontos com 0\le r\le1).
  • A curva r=\cos 2\theta é uma “rosa” de quatro pétalas (pois o fator 2 em \cos 2\theta gera 4 pétalas). Cada pétala corresponde a intervalos de \theta onde \cos 2\theta\ge0; nessa região a parte interna da pétala é dada por 0\le r\le\cos 2\theta.
  • Como observado no Passo 1, \cos 2\theta está entre -1 e 1. Portanto, onde a pétala existe (onde \cos 2\theta\ge0) o valor máximo de r é 1. Isso indica que todas as pétalas estão contidas no disco de raio 1. Conclusão útil (usada adiante): a região delimitada pela rosa r=\cos 2\theta está inteiramente dentro do disco r\le1. Logo a intersecção pedida é exatamente a região ocupada pela rosa (todas as quatro pétalas).

Passo 3

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar por que ela vale.
  • Fórmula de área em coordenadas polares: se uma região é descrita por 0\le r\le f(\theta) para \theta variando entre \alpha e \beta, então sua área é
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \bigl(f(\theta)\bigr)^2\,d\theta.Á
Explicação didática dessa fórmula:
  • Um pequeno setor polar entre \theta e \theta+d\theta com raio r tem área aproximada de área de setor: \tfrac{1}{2}r^2 d\theta (área do setor de círculo de raio r e ângulo d\theta é \tfrac12 r^2 d\theta).
  • Integramos essas áreas elementares ao longo do intervalo de \theta que descreve a região, substituindo r=f(\theta), e obtemos a fórmula acima.
  • Aqui, para a rosa r=\cos 2\theta a função que delimita o raio é f(\theta)=\cos 2\theta (onde \cos 2\theta\ge0), e podemos também integrar sobre todo o período [0,2\pi] usando r^2=(\cos 2\theta)^2, pois o quadrado elimina o sinal e a fórmula com r^2 recupera a área total das pétalas.

Passo 4

Escolher os limites de integração e escrever a integral a calcular.
Duas abordagens equivalentes (vou mostrar as duas para ficar bem claro):
Abordagem A — integrar sobre todo o intervalo de 0 a 2\pi:
  • A área total da rosa é
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl(\cos 2\theta\bigr)^2\,d\theta,Á
pois r^2=(\cos 2\theta)^2 e integrando sobre um período completo 0\le\theta<2\pi contabilizamos todas as pétalas.
Abordagem B — integrar uma pétala e multiplicar por 4:
  • Cada pétala está em um intervalo de largura \tfrac{\pi}{2} em \theta; por exemplo, uma pétala pode ser obtida tomando \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right] e 0\le r\le\cos 2\theta.
  • Assim a área de uma pétala é
\text{Área}_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \bigl(\cos 2\theta\bigr)^2\,d\theta,Áé
e a área total é 4 vezes isso.
Vou prosseguir com a Abordagem A (integração sobre 0 a 2\pi), que é direta e evita multiplicação manual de pétalas.

Passo 5

Calcular a integral explicitamente, passo a passo.
Começamos com
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl(\cos 2\theta\bigr)^2\,d\theta.Á
Usamos a identidade trigonométrica para o quadrado do cosseno:
\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}.
Aplicando com u=2\theta obtemos
\bigl(\cos 2\theta\bigr)^2 = \frac{1+\cos 4\theta}{2}.
Substituindo na integral:
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos 4\theta}{2}\,d\theta = \frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi} (1+\cos 4\theta)\,d\theta.Á
Agora separamos as integrais:
\text{Área}=\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\cos 4\theta\,d\theta\right).Á
Calcule cada uma:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos 4\theta\,d\theta = \left.\frac{\sin 4\theta}{4}\right|_{0}^{2\pi} = \frac{\sin(8\pi)-\sin 0}{4} = 0.
Portanto
\text{Área}=\frac{1}{4}\bigl(2\pi + 0\bigr)=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.Á

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida:
  • Encontramos \text{Área}=\dfrac{\pi}{2}Á.
  • Isso faz sentido também por divisão por pétalas: cada pétala teria área \dfrac{\pi}{8}, e com 4 pétalas soma \dfrac{\pi}{2}.
  • Como justificamos antes, a rosa está contida no disco de raio 1, então a região comum às duas curvas é exatamente a região da rosa; portanto o valor calculado é a área da intersecção pedida.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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