Calcule a área da região que está na intersecção dos círculos
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está na intersecção dos dois gráficos dados em coordenadas polares:
- a curva
; - a curva
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As duas equações estão em coordenadas polares, isto é, pontos descritos por
. - A função
toma valores entre e , logo . - A pergunta é: qual a área da região comum aos dois conjuntos determinados por essas curvas (ou seja, a área que pertence simultaneamente à região limitada por
e à região limitada por ).
Passo 2
Entender qualitativamente as curvas (sem ainda calcular): o que representa cada uma.
- A curva
é o círculo de raio centrado na origem (o disco interior é todos os pontos com ). - A curva
é uma “rosa” de quatro pétalas (pois o fator em gera pétalas). Cada pétala corresponde a intervalos de onde ; nessa região a parte interna da pétala é dada por . - Como observado no Passo 1,
está entre e . Portanto, onde a pétala existe (onde ) o valor máximo de é . Isso indica que todas as pétalas estão contidas no disco de raio . Conclusão útil (usada adiante): a região delimitada pela rosa está inteiramente dentro do disco . Logo a intersecção pedida é exatamente a região ocupada pela rosa (todas as quatro pétalas).
Passo 3
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar por que ela vale.
- Fórmula de área em coordenadas polares: se uma região é descrita por
para variando entre e , então sua área é
Explicação didática dessa fórmula:
- Um pequeno setor polar entre
e com raio tem área aproximada de área de setor: (área do setor de círculo de raio e ângulo é ). - Integramos essas áreas elementares ao longo do intervalo de
que descreve a região, substituindo , e obtemos a fórmula acima. - Aqui, para a rosa
a função que delimita o raio é (onde ), e podemos também integrar sobre todo o período usando , pois o quadrado elimina o sinal e a fórmula com recupera a área total das pétalas.
Passo 4
Escolher os limites de integração e escrever a integral a calcular.
Duas abordagens equivalentes (vou mostrar as duas para ficar bem claro):
Duas abordagens equivalentes (vou mostrar as duas para ficar bem claro):
Abordagem A — integrar sobre todo o intervalo de
a
:
- A área total da rosa é
pois
e integrando sobre um período completo
contabilizamos todas as pétalas.
Abordagem B — integrar uma pétala e multiplicar por
:
- Cada pétala está em um intervalo de largura
em ; por exemplo, uma pétala pode ser obtida tomando e . - Assim a área de uma pétala é
e a área total é
vezes isso.
Vou prosseguir com a Abordagem A (integração sobre
a
), que é direta e evita multiplicação manual de pétalas.
Passo 5
Calcular a integral explicitamente, passo a passo.
Começamos com
Começamos com
Usamos a identidade trigonométrica para o quadrado do cosseno:
Aplicando com
obtemos
Substituindo na integral:
Agora separamos as integrais:
Calcule cada uma:
Portanto
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida:
- Encontramos
.Á - Isso faz sentido também por divisão por pétalas: cada pétala teria área
, e com pétalas soma . - Como justificamos antes, a rosa está contida no disco de raio
, então a região comum às duas curvas é exatamente a região da rosa; portanto o valor calculado é a área da intersecção pedida.