Determinar todas as possíveis funções f que satisfazem a seguinte propriedade:
e^|f(x)|=e^[f(x)]^2-6|x|

Solução:

Aplicando ln (cdot) a cada membro da equação, obtemos:
ln (e^|f(x)|)=ln (e^[f(x)]^2-6|x|) Long<=ftrightarrow|f(x)|=[f(x)]^2-6|x|
Denotando y=|f(x)|, reescrevendo a última equação:
y=y^2-6|x| Long<=ftrightarrow y^2-y-6|x|=0
Temos assim uma equação quadrática com a=1 neq 0, b=-1 e c=-6|x|. Assim:
De<a=b^2-4 a c=(-1)^2-4(1)(-6|x|)=1+24|x|
Como |x| >= 0 para todo x in R, então 1+24|x| >= 1. Logo De<a >= 1>0.
Aplicando a Fórmula Geral (ou Bhaskara) obtemos as duas raízes (ou soluções) da equação quadrática:
y=-b pm raizDe<a2 a=-(-1) pm raiz1+24|x|2(1)=1 pm raiz1+24|x|2
Logo
y=1-raiz1+24|x|2 ou y=1+raiz1+24|x|2
Lembrando que y=|f(x)|, então :
|f(x)|=1-raiz1+24|x|2 ou |f(x)|=1+raiz1+24|x|2
Temos dois casos.
(a) Caso 1: |f(x)|=1-raiz1+24|x|2.
Por um lado |f(x)| >= 0, e por outro lado 1-raiz1+24|x|2 <= 0 ( pois raiz1+24|x| >= 1). Juntando os dois resultados:
0 <=|f(x)|=1-raiz1+24|x|2 <= 0 Longrightarrow|f(x)|=0 e 1-raiz1+24|x|2=0
Assim: f(x)=0 e x=0.
Logo obtemos a primeira função solução: f1:0 0 com f1(0)=0.
(b) Caso 2: |f(x)|=1+raiz1+24|x|2.
Dai temos duas opções:
f(x)=1+raiz1+24|x|2 ou f(x)=-1+raiz1+24|x|2, forall x in R
Logo obtemos mais duas funções soluções:
f2: R R com f2(x)=1+raiz1+24|x|2,
f3: R R com f3(x)=-1+raiz1+24|x|2.

Passo 1

O enunciado pede as funções f tais que
e^|f(x)| = e^[f(x)]^2 - 6|x|
Vamos usar propriedades de exponencial e logaritmo e depois resolver uma equação quadrática em y=|f(x)|.

Passo 2

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
|f(x)| = [f(x)]^2 - 6|x|
Fazendo y = |f(x)|, isso vira
y^2 - y - 6|x| = 0

Passo 3

Calculemos o discriminante da quadrática em y:
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-6|x|) = 1 + 24|x| >= 1 > 0
As raízes são
y = 1 pm raiz1 + 24|x|2

Passo 4

Analisando
y = 1 - raiz1 + 24|x|2,
vemos que raiz1+24|x|>=1 implica y<=0, mas por definição y>=0. Logo só pode y=0 com raiz1+24|x|=1, ou seja |x|=0. Assim x=0 e f(0)=0, dando a função
f1colon0to0, f1(0)=0

Passo 5

Para
y = 1 + raiz1 + 24|x|2
temos y>0 para todo x. Como y=|f(x)|, seguem as duas possibilidades
f(x) = 1 + raiz1 + 24|x|2 ou f(x) = -1 + raiz1 + 24|x|2,
para todo xinR. Isso gera as funções
f2(x) = 1 + raiz1 + 24|x|2, f3(x) = -1 + raiz1 + 24|x|2

Resposta

As funções que satisfazem a equação são:
f1colon 0to0 com f1(0)=0.
f2colon RtoR com
f2(x) = 1 + raiz1 + 24|x|2
f3colon RtoR com
f3(x) = -1 + raiz1 + 24|x|2

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