Determinar todas as possíveis funções
que satisfazem a seguinte propriedade:
Solução:
Aplicando
a cada membro da equação, obtemos:
Denotando
, reescrevendo a última equação:
Temos assim uma equação quadrática com
e
. Assim:
Como
para todo
, então
. Logo
.
Aplicando a Fórmula Geral (ou Bhaskara) obtemos as duas raízes (ou soluções) da equação quadrática:
Logo
Lembrando que
, então :
Temos dois casos.
(a) Caso 1:
.
Por um lado
, e por outro lado
pois
. Juntando os dois resultados:
Assim:
e
.
Logo obtemos a primeira função solução:
.
(b) Caso 2:
.
Dai temos duas opções:
Logo obtemos mais duas funções soluções:
,
.
(a) Caso 1:
Logo obtemos a primeira função solução:
(b) Caso 2:
Passo 1
O enunciado pede as funções
tais que
Vamos usar propriedades de exponencial e logaritmo e depois resolver uma equação quadrática em
.
Passo 2
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
Fazendo
, isso vira
Passo 3
Calculemos o discriminante da quadrática em
:
As raízes são
Passo 4
Analisando
vemos que
implica
, mas por definição
. Logo só pode
com
, ou seja
. Assim
e
, dando a função
Passo 5
Para
temos
para todo
. Como
, seguem as duas possibilidades
para todo
. Isso gera as funções
Resposta
As funções que satisfazem a equação são: