Calcule as seguintes integrais com precisão de cinco casas decimais:
integral0^1 1-cos (x)x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = integral0^11-cos(x)x,dx
com precisão de cinco casas decimais.
Aqui vamos usar a expansão em série de Taylor de cos(x) para remover a aparente singularidade em x=0 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Notamos que, para xto0,
1-cos(x)simx^22,
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1-cos(x)xsimx2
é regular em x=0. A integral é, portanto, convergente.

Passo 3

Expandimos cos(x) em série:
cos(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!,
então
1-cos(x)=sumk=1^infty(-1)^k-1x^2k(2k)! Longrightarrow 1-cos(x)x =sumk=1^infty(-1)^k-1x^2k-1(2k)!

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a 1:
I =sumk=1^infty(-1)^k-11(2k)!integral0^1x^2k-1dx =sumk=1^infty(-1)^k-112k,(2k)!

Passo 5

Calculamos parcelas até estabilizar em cinco casas decimais:
S1&=12cdot2!=0,2500000000, S2&=S1-14cdot4!=0,2395833333, S3&=S2+16cdot6!=0,2398148148, S4&=S3-18cdot8!=0,2398117154, S5&approx0,2398117429, S6approx0,2398117427
A soma converge para
Iapprox0,2398117427,
ou seja, com cinco casas decimais:

Resposta

I approx 0,23981

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