Determinar, utilizando a Tabela, as transformadas inversas de:
\frac{2}{s-5}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada inversa da função \displaystyle \frac{2}{s-5}.
Informações fornecidas: a expressão \displaystyle \frac{2}{s-5} (variável complexa s).
Objetivo imediato: encontrar a função de tempo f(t) cujo operador transformada de Laplace produz \displaystyle \frac{2}{s-5}.

Passo 2

Entrada da tabela (par conhecido): a transformada de Laplace da função exponencial \displaystyle e^{at} é
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},
válida para \operatorname{Re}(s)>a.
Explicação desta fórmula (mini-aula): aqui \displaystyle a é uma constante real que define a taxa de crescimento/decrescimento da exponencial, t é a variável de tempo (assumimos t\ge 0) e s é a variável complexa do domínio da transformada. A demonstração rápida vem da definição:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-a},
desde que \operatorname{Re}(s-a)>0 (isso garante que a exponencial decai no infinito e a integral converge).

Passo 3

Propriedade da linearidade (mini-aula): a transformada de Laplace é linear, isto é, para qualquer constante c e função f(t) temos
\mathcal{L}\{c\,f(t)\}=c\,\mathcal{L}\{f(t)\}.
Isto implica também para a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{c\,F(s)\}=c\,\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Na prática: podemos “puxar” constantes para fora e aplicar a tabela à parte restante.

Passo 4

Aplicando a tabela e a linearidade ao problema: escrevemos
\frac{2}{s-5}=2\cdot\frac{1}{s-5}.
Pelo par da tabela \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-a}\}=e^{at}, com a=5, segue
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s-5}\right\}=2\cdot e^{5t}.
Condição de convergência: a igualdade \mathcal{L}\{2e^{5t}\}=\frac{2}{s-5} vale para \operatorname{Re}(s)>5; na prática, na transformada inversa consideramos a função de tempo para t\ge 0.

Passo 5

Checagem rápida (para ficar tranquilo): calcule a transformada de Laplace de 2e^{5t}:
\mathcal{L}\{2e^{5t}\}=2\int_{0}^{\infty} e^{-(s-5)t}\,dt=2\cdot\frac{1}{s-5}=\frac{2}{s-5},
confirmando que a inversa encontrada está certa. Força aí — isso é padrão e cai muito em prova: identifique a e puxe constantes pra fora.

Resposta

2e^{5t}

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