Determinar, utilizando a Tabela, as transformadas inversas de:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada inversa da função
.
Informações fornecidas: a expressão (variável complexa
).
Objetivo imediato: encontrar a função de tempo cujo operador transformada de Laplace produz
.
Informações fornecidas: a expressão
Objetivo imediato: encontrar a função de tempo
Passo 2
Entrada da tabela (par conhecido): a transformada de Laplace da função exponencial
é
válida para
.
Explicação desta fórmula (mini-aula): aqui é uma constante real que define a taxa de crescimento/decrescimento da exponencial,
é a variável de tempo (assumimos
) e
é a variável complexa do domínio da transformada. A demonstração rápida vem da definição:
Explicação desta fórmula (mini-aula): aqui
desde que
(isso garante que a exponencial decai no infinito e a integral converge).
Passo 3
Propriedade da linearidade (mini-aula): a transformada de Laplace é linear, isto é, para qualquer constante
e função
temos
Isto implica também para a transformada inversa:
Na prática: podemos “puxar” constantes para fora e aplicar a tabela à parte restante.
Passo 4
Aplicando a tabela e a linearidade ao problema: escrevemos
Pelo par da tabela
, com
, segue
Condição de convergência: a igualdade
vale para
; na prática, na transformada inversa consideramos a função de tempo para
.
Passo 5
Checagem rápida (para ficar tranquilo): calcule a transformada de Laplace de
:
confirmando que a inversa encontrada está certa. Força aí — isso é padrão e cai muito em prova: identifique
e puxe constantes pra fora.