Determinar, utilizando a Tabela, as transformadas inversas de:
\frac{2}{s}

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de s
\frac{2}{s}
e pede para determinar a transformada inversa usando a Tabela. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a inverter é \dfrac{2}{s}.
  • Deve-se usar a Tabela (ou seja, relações conhecidas entre funções no tempo e suas transformadas em s).
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Lembraremos uma entrada básica da Tabela de transformadas (essa é a parte que você costuma decorar ou consultar rapidamente na prova):
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 1\,dt = \frac{1}{s},\quad \text{para }\operatorname{Re}(s)>0.
Explicando devagar: a transformada de Laplace de uma função f(t) é a integral \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt. No caso f(t)=1, essa integral dá \dfrac{1}{s}. Portanto pela Tabela sabemos imediatamente que a transformada inversa de \dfrac{1}{s} é a função constante 1 (no sentido de t\ge 0).

Passo 3

Agora vamos usar uma propriedade muito útil e simples: linearidade da transformada (e da transformada inversa). A propriedade diz que, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{a f(t)\}(s)=a\mathcal{L}\{f(t)\}(s)
e, invertendo,
\mathcal{L}^{-1}\{a F(s)\}(t)=a\,\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t).
Isto significa que podemos “puxar” constantes para fora da transformada inversa. Isso simplifica muito o trabalho na prova: se você reconhece um fator constante multiplicando uma entrada conhecida da tabela, basta multiplicar a função no tempo por esse mesmo fator.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: escrevemos
\frac{2}{s}=2\cdot\frac{1}{s}.
Sabemos pela Tabela que \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 (para t\ge 0). Pela linearidade, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s}\right\}=2\cdot \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=2\cdot 1 = 2.
Para ter certeza, podemos verificar diretamente calculando a transformada direta de 2:
\mathcal{L}\{2\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 2\,dt = 2\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = 2\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s},
válido para \operatorname{Re}(s)>0. Portanto a inversa está correta.

Passo 5

Comentário final e incentivo: então a resposta é simples e direta — a transformada inversa de \dfrac{2}{s} é a função constante 2 (no domínio t\ge 0). Na prova, o truque é sempre reconhecer entradas da tabela e usar a linearidade; quando estiver nervoso, escreva primeiro \dfrac{2}{s}=2\cdot\dfrac{1}{s} e depois aplique a tabela.

Resposta

f(t)=2,\; t\ge 0

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