2- Determinar o valor da fugacidade para o \mathrm{NH}_{3(\mathrm{~g})} a 10 atm e 25^{\circ} \mathrm{C}. Nestas condições o gás obedece a equação de van der Waals, mas as forças de atração podem ser desprezadas. Dados: \mathrm{a}=4,170 \mathrm{~atm} . \mathrm{dm}^{6} . \mathrm{mol}^{-2} ; \mathrm{b}=3,707 \times 10^{-2} \mathrm{dm}^{3} . \mathrm{mol}^{-1}.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado: p=10\\ \mathrm{atm},\qquad T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K},
a=4{,}170\\ \mathrm{atm\cdot dm^6\cdot mol^{-2}}\quad(\text{dado, mas dito que pode ser desprezado}),
b=3{,}707\times10^{-2}\\ \mathrm{dm^3\cdot mol^{-1}}.
Observação: 1\\ \mathrm{dm^3}=1\\ \mathrm{L}, portanto b=0{,}03707\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
  • O enunciado pede: determinar a fugacidade de \mathrm{NH_{3(g)}} nas condições dadas.
  • Informação importante do enunciado: o gás obedece a equação de van der Waals, mas “as forças de atração podem ser desprezadas” — isto significa que podemos desprezar o termo \displaystyle a na equação, ficando apenas o termo de volume excluído b.

Passo 2

Explico o que é fugacidade e a relação prática que usaremos.
  • Fugacidade f é uma pressão “efetiva” que substitui a pressão real quando queremos usar fórmulas de equilíbrio como se o gás fosse ideal. Para um gás real definimos o coeficiente de fugacidade \varphi por \varphi=\frac{f}{p}.
  • Uma fórmula útil para \varphi é \ln\varphi=\int_{0}^{p}\frac{Z-1}{p}\,dp,onde Z é o fator de compressibilidade Z=\dfrac{pv}{RT}. Esta expressão vem da definição termodinâmica de fugacidade e é muito usada em cálculos sem ter que lidar diretamente com potenciais de fugacidade.

Passo 3

Vou obter Z para o modelo de van der Waals com a desprezado.
  • A equação de van der Waals geral é p=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}.Desprezando as forças de atração ( a\approx0), ficamos com p=\frac{RT}{v-b}.
  • Isolando o volume molar v, v=b+\frac{RT}{p}.
  • Agora calculamos Z: Z=\frac{pv}{RT}=\frac{p\Big(b+\dfrac{RT}{p}\Big)}{RT}=\frac{pb}{RT}+1.Portanto Z-1=\frac{pb}{RT}.

Passo 4

Substituo Z-1 na integral que define \ln\varphi.
  • Temos \ln\varphi=\int_{0}^{p}\frac{Z-1}{p}\,dp=\int_{0}^{p}\frac{1}{p}\left(\frac{pb}{RT}\right)\,dp=\int_{0}^{p}\frac{b}{RT}\,dp.
  • Como b, R e T são constantes nesta integral (condições isotermais), a integral é simples: \ln\varphi=\frac{b}{RT}\int_{0}^{p}dp=\frac{b\,p}{RT}.
  • Logo o coeficiente de fugacidade é \varphi=\exp\!\left(\frac{b\,p}{RT}\right).

Passo 5

Faço atenção às unidades e escolho R compatível com p em \mathrm{atm} e b em \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
  • Valores numéricos a usar: b=0{,}03707\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}},
p=10\\ \mathrm{atm},
T=298{,}15\\ \mathrm{K},
R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 6

Calculo o expoente \dfrac{b\,p}{RT} numericamente passo a passo.
  • Produto b\,p: b\,p=0{,}03707\times10=0{,}3707\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}}.
  • Produto R\,T: R\,T=0{,}082057\times298{,}15\approx24{,}468\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}}.
  • Divisão: \frac{b\,p}{R\,T}=\frac{0{,}3707}{24{,}468}\approx0{,}01516.

Passo 7

Calculo o coeficiente de fugacidade \varphi e então a fugacidade f.
  • Coeficiente: \varphi=\exp(0{,}01516)\approx1{,}01528.
  • Fugacidade: f=\varphi\,p=1{,}01528\times10\\ \mathrm{atm}=10{,}1528\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Interpretação rápida e verificação de ordem de grandeza (para te deixar mais seguro).
  • Como b é pequeno e a pressão não é extremamente alta, esperamos que \varphi seja próximo de 1; obtivemos \varphi\approx1{,}015, consistente.
  • Portanto a fugacidade é ligeiramente maior que a pressão real, f\approx10{,}15\\ \mathrm{atm}.

Resposta

f=10{,}15\\ \mathrm{atm}

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