Determinar o valor de n para que seja de 30^{\circ} o ângulo entre a reta r : \frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{n}=\frac{z}{3} e o plano y=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de n tal que o ângulo entre a reta r e o plano y=0 seja 30^\circ.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A reta r está dada por \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+4}{n}=\dfrac{z}{3}.
  • O plano é y=0.
  • A reta, em forma vetorial, tem vetor diretor que é obtido dos denominadores da forma simétrica: \mathbf{v}=(2,n,3).
  • O plano y=0 tem vetor normal \mathbf{N}=(0,1,0).
  • A incógnita é n e o objetivo é achar os valores de n que tornam o ângulo entre a reta e o plano igual a 30^\circ.

Passo 2

Entender a relação entre o ângulo da reta com o plano e o produto escalar com a normal do plano.
Explicação didática e passo a passo do conceito:
  • Seja \alpha o ângulo entre a reta (direção \mathbf{v}) e o plano. Seja \varphi o ângulo entre \mathbf{v} e o vetor normal \mathbf{N} do plano.
  • Esses ângulos são complementares: \varphi + \alpha = 90^\circ. Por quê? Porque o vetor normal é perpendicular ao plano, então o ângulo entre a direção da reta e o plano é o complemento do ângulo entre a direção da reta e a normal.
  • A fórmula do produto escalar dá o cosseno do ângulo entre dois vetores: \displaystyle \cos\varphi = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{N}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{N}\|}. O valor absoluto aparece porque usamos o ângulo agudo entre vetores.
  • Como \alpha = 90^\circ-\varphi, temos \sin\alpha = \cos\varphi. Logo
\sin\alpha = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{N}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{N}\|}.
Esta é a fórmula que vamos usar: ela relaciona o seno do ângulo entre a reta e o plano com o produto escalar entre o vetor diretor da reta e a normal do plano.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso concreto.
  • Tomamos \mathbf{v}=(2,n,3) (peguei este vetor diretor a partir da forma simétrica da reta) e \mathbf{N}=(0,1,0) (normal do plano y=0).
  • Calcular o produto escalar:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{N} = 2\cdot 0 + n\cdot 1 + 3\cdot 0 = n.
  • Normas dos vetores:
\|\mathbf{N}\| = 1, \qquad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^{2}+n^{2}+3^{2}} = \sqrt{n^{2}+13}.
  • Queremos \alpha=30^\circ, então \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}. Usando a fórmula do Passo 2:
\frac{1}{2} = \sin 30^\circ = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{N}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{N}\|} = \frac{|n|}{\sqrt{n^{2}+13}\cdot 1} = \frac{|n|}{\sqrt{n^{2}+13}}.

Passo 4

Resolver a equação obtida.
Temos
\frac{|n|}{\sqrt{n^{2}+13}}=\frac{1}{2}.
Isolar e eliminar o valor absoluto com cuidado:
|n|=\frac{1}{2}\sqrt{n^{2}+13}.
Elevar ambos os lados ao quadrado (lembre-se de que ao elevar ao quadrado o sinal absoluto já é tratado):
n^{2}=\frac{1}{4}\,(n^{2}+13).
Multiplicar por 4:
4n^{2}=n^{2}+13.
Isolar n^{2}:
3n^{2}=13\quad\Rightarrow\quad n^{2}=\frac{13}{3}.
Portanto
n=\pm\sqrt{\frac{13}{3}}.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida.
  • Como a equação envolvia |n|, ambos os sinais são aceitáveis: n=\sqrt{\tfrac{13}{3}} e n=-\sqrt{\tfrac{13}{3}}.
  • Opcionalmente, pode-se escrever a forma racionalizada: \sqrt{\tfrac{13}{3}}=\dfrac{\sqrt{39}}{3}.
  • Aproximação numérica: \sqrt{\tfrac{13}{3}}\approx 2{,}081, mas a resposta exata em radicais é preferível.

Resposta

n=\sqrt{\dfrac{13}{3}}
n=-\sqrt{\dfrac{13}{3}}

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