Determinar o valor de
para que seja de
o ângulo entre a reta
:
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
tal que o ângulo entre a reta
e o plano
seja
.
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A reta
está dada por . - O plano é
. - A reta, em forma vetorial, tem vetor diretor que é obtido dos denominadores da forma simétrica:
. - O plano
tem vetor normal . - A incógnita é
e o objetivo é achar os valores de que tornam o ângulo entre a reta e o plano igual a .
Passo 2
Entender a relação entre o ângulo da reta com o plano e o produto escalar com a normal do plano.
Explicação didática e passo a passo do conceito:
- Seja
o ângulo entre a reta (direção ) e o plano. Seja o ângulo entre e o vetor normal do plano. - Esses ângulos são complementares:
. Por quê? Porque o vetor normal é perpendicular ao plano, então o ângulo entre a direção da reta e o plano é o complemento do ângulo entre a direção da reta e a normal. - A fórmula do produto escalar dá o cosseno do ângulo entre dois vetores:
. O valor absoluto aparece porque usamos o ângulo agudo entre vetores. - Como
, temos . Logo
Esta é a fórmula que vamos usar: ela relaciona o seno do ângulo entre a reta e o plano com o produto escalar entre o vetor diretor da reta e a normal do plano.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso concreto.
- Tomamos
(peguei este vetor diretor a partir da forma simétrica da reta) e (normal do plano ). - Calcular o produto escalar:
- Normas dos vetores:
- Queremos
, então . Usando a fórmula do Passo 2:
Passo 4
Resolver a equação obtida.
Temos
Isolar e eliminar o valor absoluto com cuidado:
Elevar ambos os lados ao quadrado (lembre-se de que ao elevar ao quadrado o sinal absoluto já é tratado):
Multiplicar por
:
Isolar
:
Portanto
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida.
- Como a equação envolvia
, ambos os sinais são aceitáveis: e . - Opcionalmente, pode-se escrever a forma racionalizada:
. - Aproximação numérica:
, mas a resposta exata em radicais é preferível.