Determine o ponto da reta paramétrica x=2-t, y=3+t, z=1-2 t que intersecta o plano \pi: 2 x-3 y-z+5=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ponto da reta paramétrica que intersecta o plano \pi. As informações dadas são:
  • Equações paramétricas da reta (variando o parâmetro t):
x = 2 - t,\qquad y = 3 + t,\qquad z = 1 - 2t.
  • Equação do plano \pi:
2x - 3y - z + 5 = 0.
O que precisamos encontrar é o valor do parâmetro t tal que o ponto (x,y,z) da reta satisfaça a equação do plano, e então obter as coordenadas do ponto de interseção.

Passo 2

Ideia do método (por que funciona): um ponto está na reta para um certo t quando suas coordenadas são dadas por (x(t),y(t),z(t)). Esse mesmo ponto está no plano se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a equação do plano. Então basta substituir x,y,z em função de t na equação do plano e resolver a equação resultante para t. Esse t dá o ponto de interseção quando colocado nas equações paramétricas.

Passo 3

Substituir as expressões paramétricas na equação do plano. Começando por escrever a expressão à esquerda da equação do plano em função de t:
2x-3y-z+5 = 2(2-t)-3(3+t)-(1-2t)+5.
Agora desenvolver cada produto e somar termos semelhantes passo a passo:
2(2-t)=4-2t,
-3(3+t)=-9-3t,
-(1-2t)=-1+2t.
Somando tudo com o +5:
(4-2t)+(-9-3t)+(-1+2t)+5.

Passo 4

Agrupar termos constantes e termos com t e simplificar:
  • Termos constantes: 4-9-1+5.
  • Termos com t: -2t-3t+2t.
Calcule os constantes:
4-9=-5,\quad -5-1=-6,\quad -6+5=-1.
Calcule os coeficientes de t:
-2t-3t+2t = -3t.
Portanto a expressão fica
2x-3y-z+5 = -1-3t.

Passo 5

Impor a condição de ponto no plano: essa expressão deve ser zero. Logo resolver
-1-3t=0.
Isolando t:
-3t=1 \quad\Rightarrow\quad t=-\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Encontrar as coordenadas do ponto substituindo t=-\dfrac{1}{3} nas paramétricas da reta:
x = 2 - t = 2 -\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3},
y = 3 + t = 3 +\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 3 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3},
z = 1 - 2t = 1 - 2\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (checar que o ponto realmente satisfaz o plano): calcule
2x-3y-z+5 = 2\cdot\dfrac{7}{3}-3\cdot\dfrac{8}{3}-\dfrac{5}{3}+5.
Colocando tudo sobre 3:
= \dfrac{14}{3}-\dfrac{24}{3}-\dfrac{5}{3}+\dfrac{15}{3} = \dfrac{14-24-5+15}{3} = \dfrac{0}{3}=0,
ou seja, confirma-se que o ponto está no plano.

Resposta

\left(\dfrac{7}{3},\dfrac{8}{3},\dfrac{5}{3}\right)

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