Determine o ponto da reta paramétrica
,
,
que intersecta o plano
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ponto da reta paramétrica que intersecta o plano
. As informações dadas são:
- Equações paramétricas da reta (variando o parâmetro
):
- Equação do plano
:
O que precisamos encontrar é o valor do parâmetro
tal que o ponto
da reta satisfaça a equação do plano, e então obter as coordenadas do ponto de interseção.
Passo 2
Ideia do método (por que funciona): um ponto está na reta para um certo
quando suas coordenadas são dadas por
. Esse mesmo ponto está no plano se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a equação do plano. Então basta substituir
em função de
na equação do plano e resolver a equação resultante para
. Esse
dá o ponto de interseção quando colocado nas equações paramétricas.
Passo 3
Substituir as expressões paramétricas na equação do plano. Começando por escrever a expressão à esquerda da equação do plano em função de
:
Agora desenvolver cada produto e somar termos semelhantes passo a passo:
Somando tudo com o
:
Passo 4
Agrupar termos constantes e termos com
e simplificar:
- Termos constantes:
. - Termos com
: .
Calcule os constantes:
Calcule os coeficientes de
:
Portanto a expressão fica
Passo 5
Impor a condição de ponto no plano: essa expressão deve ser zero. Logo resolver
Isolando
:
Passo 6
Encontrar as coordenadas do ponto substituindo
nas paramétricas da reta:
Passo 7
Verificação rápida (checar que o ponto realmente satisfaz o plano): calcule
Colocando tudo sobre
:
ou seja, confirma-se que o ponto está no plano.