Determinar o valor de n para que o vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{n},-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) seja unitário.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de n para que o vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\mathrm{n},-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) seja unitário.
Informações dadas:
  • A componente x do vetor é \mathrm{n} (incógnita).
  • A componente y do vetor é -\dfrac{1}{2}.
  • A componente z do vetor é \dfrac{3}{4}.
  • Queremos que o comprimento (norma) do vetor seja igual a 1.

Passo 2

Definição importante (o que significa “vetor unitário”):
Um vetor é unitário quando a sua norma (comprimento) vale 1. Para um vetor em \mathbb{R}^3 com componentes (v_1,v_2,v_3), a norma é dada por
\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Aqui v_1, v_2 e v_3 são as componentes do vetor; a norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados dessas componentes.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso vetor, a condição de ser unitário é
\sqrt{\mathrm{n}^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}=1.
Para simplificar a resolução, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é válido porque ambos os lados são não negativos), obtendo a equação sem raiz:
\mathrm{n}^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=1.

Passo 4

Calcular os quadrados das componentes conhecidas:
\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}, \qquad \left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}.
Substituindo na equação:
\mathrm{n}^{2}+\frac{1}{4}+\frac{9}{16}=1.

Passo 5

Somar as frações \dfrac{1}{4} e \dfrac{9}{16}. Passo a passo com denominador comum 16:
\frac{1}{4}=\frac{4}{16}, \qquad \frac{4}{16}+\frac{9}{16}=\frac{13}{16}.
Logo a equação fica
\mathrm{n}^{2}+\frac{13}{16}=1.

Passo 6

Isolar \mathrm{n}^{2}:
\mathrm{n}^{2}=1-\frac{13}{16}.
Escrever 1 como \dfrac{16}{16} e calcular:
\mathrm{n}^{2}=\frac{16}{16}-\frac{13}{16}=\frac{3}{16}.

Passo 7

Extrair a raiz quadrada para obter \mathrm{n}. Como \mathrm{n}^{2}=\dfrac{3}{16}, tem-se duas soluções (positivo e negativo):
\mathrm{n}=\pm\sqrt{\frac{3}{16}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{4}.
Ambos os sinais são válidos porque ao elevar ao quadrado o sinal desaparece e a norma continua igual a 1. Verificação rápida:
\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^{2}+\frac{1}{4}+\frac{9}{16}=\frac{3}{16}+\frac{4}{16}+\frac{9}{16}=\frac{16}{16}=1.

Resposta

\mathrm{n}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}
\mathrm{n}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}

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