Determinar o valor de n para que o vetor
seja unitário.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de
para que o vetor
seja unitário.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A componente
do vetor é (incógnita). - A componente
do vetor é . - A componente
do vetor é . - Queremos que o comprimento (norma) do vetor seja igual a
.
Passo 2
Definição importante (o que significa “vetor unitário”):
Um vetor é unitário quando a sua norma (comprimento) vale . Para um vetor em
com componentes
, a norma é dada por
Um vetor é unitário quando a sua norma (comprimento) vale
Aqui
,
e
são as componentes do vetor; a norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados dessas componentes.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso vetor, a condição de ser unitário é
Para simplificar a resolução, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é válido porque ambos os lados são não negativos), obtendo a equação sem raiz:
Passo 4
Calcular os quadrados das componentes conhecidas:
Substituindo na equação:
Passo 5
Somar as frações
e
. Passo a passo com denominador comum
:
Logo a equação fica
Passo 6
Isolar
:
Escrever
como
e calcular:
Passo 7
Extrair a raiz quadrada para obter
. Como
, tem-se duas soluções (positivo e negativo):
Ambos os sinais são válidos porque ao elevar ao quadrado o sinal desaparece e a norma continua igual a
. Verificação rápida: