Determinar o valor de
para que seja de
ângulo entre as retas
e
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede o valor de
Pergunta que precisamos responder: determinar todos os valores de
e
seja
.]
Passo 2
Entender o que precisamos extrair das equações: para calcular o ângulo entre duas retas no espaço usamos seus vetores diretores. Vou extrair os vetores diretores das duas retas a partir das formas dadas, sem resolver ainda o ângulo.
Passo 3
Como obter vetor diretor de
: na forma simétrica
, o vetor diretor é
. Aplicando isso em
, o vetor diretor é
Expliquei: cada denominador é a componente correspondente do vetor diretor.
Passo 4
Como obter vetor diretor de
: escrevemos
em forma paramétrica. Tomamos
como parâmetro; então
Assim a forma paramétrica é
. O vetor diretor é o coeficiente de
:
Obs.: os termos constantes
e
só deslocam a reta, não alteram sua direção.
Passo 5
Fórmula do ângulo entre duas retas pela direção dos vetores: se
é o ângulo entre as retas, então
Aqui
é o produto escalar (somatório dos produtos de componentes) e
é o comprimento (norma) do vetor, dado por
. Usei valor absoluto porque a definição do ângulo entre retas costuma dar um ângulo entre
e
.
Passo 6
Calcular o produto escalar
:
Explicação: multiplicamos componente a componente e somamos.
Passo 7
Calcular as normas:
Mostrei passo a passo como somar os quadrados das componentes e extrair a raiz.
Passo 8
Queremos
, então
. Aplicando a fórmula do passo 5:
Agora vamos resolver essa equação para
.
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplifico o lado direito:
. Para eliminar o módulo e a raiz, elevamos ao quadrado ambos os lados (isso é seguro, só precisamos checar depois se aparecem soluções extranhas, o que faremos):
Calculo o quadrado do fator:
Passo 10
Multiplico ambos os lados por
para evitar frações:
Também posso expandir o lado esquerdo: primeiro fator comum
em
, escrevo
, então
Ou seja
Passo 11
Expandindo
:
Distribuo:
Passo tudo para um lado:
Divido por
:
Passo 12
Resolver a equação quadrática
. Para fatorar:
Portanto as raízes são
Passo 13
Verificação rápida (para garantir que ambas realmente dão ângulo
e que nenhuma foi introduzida artificialmente ao elevar ao quadrado):
- Para
: . Produto escalar . Normas: , . Então
Logo
.
- Para
: . Produto escalar . Normas: . Então
Também
.
Ambas as soluções são válidas.