Determinar o valor de n para que seja de 30^{\circ} o ângulo entre as retas
r: \quad \frac{x-2}{4}=\frac{y+4}{5}=\frac{z}{3} \quad e \quad s:\left\{\begin{array}{l}y=n x+5 \\\ z=2 x-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede o valor de n\) para que o ângulo entre elas seja \(30^\circ\). Informações dadas: \[r:\quad \frac{x-2}{4}=\frac{y+4}{5}=\frac{z}{3}
s:\quad \begin{cases} y = n x + 5 \\[4pt] z = 2x - 2 \end{cases}
Pergunta que precisamos responder: determinar todos os valores de n\] tais que o ângulo entre \(r e s seja 30^\circ.]

Passo 2

Entender o que precisamos extrair das equações: para calcular o ângulo entre duas retas no espaço usamos seus vetores diretores. Vou extrair os vetores diretores das duas retas a partir das formas dadas, sem resolver ainda o ângulo.

Passo 3

Como obter vetor diretor de r: na forma simétrica \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}, o vetor diretor é (a,b,c). Aplicando isso em r, o vetor diretor é
\vec{v}_r = (4,\,5,\,3).
Expliquei: cada denominador é a componente correspondente do vetor diretor.

Passo 4

Como obter vetor diretor de s: escrevemos s em forma paramétrica. Tomamos x=t como parâmetro; então
y = n t + 5,\qquad z = 2t - 2.
Assim a forma paramétrica é (x,y,z)=(t,\; n t +5,\; 2t-2). O vetor diretor é o coeficiente de t:
\vec{v}_s = (1,\; n,\; 2).
Obs.: os termos constantes 5 e -2 só deslocam a reta, não alteram sua direção.

Passo 5

Fórmula do ângulo entre duas retas pela direção dos vetores: se \theta é o ângulo entre as retas, então
\cos\theta = \frac{|\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s|}{\|\vec{v}_r\|\,\|\vec{v}_s\|}.
Aqui \vec{v}_r\cdot\vec{v}_s é o produto escalar (somatório dos produtos de componentes) e \|\vec{v}\| é o comprimento (norma) do vetor, dado por \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}. Usei valor absoluto porque a definição do ângulo entre retas costuma dar um ângulo entre 0^\circ e 90^\circ.

Passo 6

Calcular o produto escalar \vec{v}_r\cdot\vec{v}_s:
\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s = 4\cdot 1 + 5\cdot n + 3\cdot 2 = 4 + 5n + 6 = 5n + 10.
Explicação: multiplicamos componente a componente e somamos.

Passo 7

Calcular as normas:
\|\vec{v}_r\| = \sqrt{4^2+5^2+3^2} = \sqrt{16+25+9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.
\|\vec{v}_s\| = \sqrt{1^2 + n^2 + 2^2} = \sqrt{n^2 + 5}.
Mostrei passo a passo como somar os quadrados das componentes e extrair a raiz.

Passo 8

Queremos \theta=30^\circ, então \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Aplicando a fórmula do passo 5:
\frac{|5n+10|}{(5\sqrt{2})\sqrt{n^2+5}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Agora vamos resolver essa equação para n.

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por 5\sqrt{2}\sqrt{n^2+5}:
|5n+10| = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5\sqrt{2}\sqrt{n^2+5}.
Simplifico o lado direito: \dfrac{5\sqrt{6}}{2}\sqrt{n^2+5}. Para eliminar o módulo e a raiz, elevamos ao quadrado ambos os lados (isso é seguro, só precisamos checar depois se aparecem soluções extranhas, o que faremos):
(5n+10)^2 = \left(\frac{5\sqrt{6}}{2}\right)^2 (n^2+5).
Calculo o quadrado do fator:
(5n+10)^2 = \frac{25\cdot 6}{4}(n^2+5) = \frac{150}{4}(n^2+5)=\frac{75}{2}(n^2+5).

Passo 10

Multiplico ambos os lados por 2 para evitar frações:
2(5n+10)^2 = 75(n^2+5).
Também posso expandir o lado esquerdo: primeiro fator comum 5 em 5n+10, escrevo (5n+10)=5(n+2), então
2\cdot 25 (n+2)^2 = 75(n^2+5).
Ou seja
50(n+2)^2 = 75(n^2+5).

Passo 11

Expandindo (n+2)^2 = n^2 + 4n +4:
50(n^2+4n+4) = 75(n^2+5).
Distribuo:
50n^2 + 200n + 200 = 75n^2 + 375.
Passo tudo para um lado:
0 = 75n^2 + 375 - 50n^2 - 200n - 200
0 = 25n^2 - 200n + 175.
Divido por 25:
0 = n^2 - 8n + 7.

Passo 12

Resolver a equação quadrática n^2 - 8n + 7 = 0. Para fatorar:
n^2 - 8n + 7 = (n-1)(n-7).
Portanto as raízes são
n = 1 \quad\text{ou}\quad n = 7.

Passo 13

Verificação rápida (para garantir que ambas realmente dão ângulo 30^\circ e que nenhuma foi introduzida artificialmente ao elevar ao quadrado):
  • Para n=1: \vec{v}_s=(1,1,2). Produto escalar =5\cdot1+10=15. Normas: \|\vec{v}_r\|=5\sqrt{2}, \|\vec{v}_s\|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}. Então
\cos\theta = \frac{15}{5\sqrt{2}\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo \theta=30^\circ.
  • Para n=7: \vec{v}_s=(1,7,2). Produto escalar =5\cdot7+10=45. Normas: \|\vec{v}_s\|=\sqrt{1+49+4}=\sqrt{54}. Então
\cos\theta = \frac{45}{5\sqrt{2}\sqrt{54}} = \frac{45}{5\sqrt{108}} = \frac{9}{\sqrt{108}} = \frac{9}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Também \theta=30^\circ.
Ambas as soluções são válidas.

Resposta

n=1
n=7

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