Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
r:
\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2} t \\\ y=t \\\ z=5-3 t\end{array} \quad\right.
e
\quad
s:
\left\{\begin{array}{l}x=0 \\\ y=0\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o ângulo entre as retas [r) e s.
Informações dadas pelo enunciado:
r:\begin{cases} x=1+\sqrt{2}\,t\\[4pt] y=t\\[4pt] z=5-3t \end{cases} \qquad\text{e}\qquad s:\begin{cases} x=0\\[4pt] y=0 \end{cases}
Observações óbvias a partir do enunciado (lista de dados relevantes):
  • A reta r\] está dada em forma paramétrica com parâmetro \(t.
  • A reta s está determinada por x=0 e y=0; isso significa que z é a coordenada livre (a reta é o eixo z).
  • Precisaremos das direções de cada reta (sequência de vetores diretores) para calcular o ângulo entre elas.
    Nenhuma outra informação será solicitada.]

Passo 2

Extrair os vetores diretores das retas. Regra prática: na forma paramétrica x=x_0+a t,\;y=y_0+b t,\;z=z_0+c t o vetor diretor é (a,b,c).
Aplicando em r:
r:\;x=1+\sqrt{2}\,t,\;y=t,\;z=5-3t
logo o vetor diretor de r é
\vec{v}_r=(\sqrt{2},\,1,\,-3).
Para s o enunciado deu x=0,\;y=0. Parametrizamos s usando um parâmetro u para z:
s:\;x=0,\;y=0,\;z=u.
Assim o vetor diretor de s é
\vec{v}_s=(0,\,0,\,1).

Passo 3

Explicar a fórmula do ângulo entre vetores e por que ela vale aqui.
Seja \vec{a} e \vec{b} dois vetores não-nulos. O cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|},
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar e \|\vec{a}\| é a norma (módulo) do vetor.
Definições usadas:
  • Produto escalar: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Norma: \displaystyle \|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Como queremos o ângulo entre as retas, tomamos os vetores diretores \vec{v}_r e \vec{v}_s e aplicamos a fórmula acima. Para garantir o ângulo agudo (menor entre as duas retas) usamos o valor absoluto do produto escalar, isto é, podemos usar
\cos\theta=\frac{|\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s|}{\|\vec{v}_r\|\;\|\vec{v}_s\|},
pois o ângulo entre retas é sempre tomado entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{v}_r\cdot\vec{v}_s.
Temos \vec{v}_r=(\sqrt{2},1,-3) e \vec{v}_s=(0,0,1). Pelo produto escalar:
\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s=(\sqrt{2})\cdot 0 + 1\cdot 0 + (-3)\cdot 1 = -3.
O valor absoluto é |\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s|=3.

Passo 5

Calcular as normas \|\vec{v}_r\| e \|\vec{v}_s\|.
Para \vec{v}_r=(\sqrt{2},1,-3):
\|\vec{v}_r\|=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2 + (-3)^2}=\sqrt{2+1+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Para \vec{v}_s=(0,0,1):
\|\vec{v}_s\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1.

Passo 6

Aplicar a fórmula do cosseno e obter o ângulo.
Usando os resultados anteriores:
\cos\theta=\frac{|\vec{v}_r\cdot\vec{v}_s|}{\|\vec{v}_r\|\;\|\vec{v}_s\|}=\frac{3}{(2\sqrt{3})\cdot 1}=\frac{3}{2\sqrt{3}}.
Simplificando \dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Conhecendo os valores trigonométricos usuais, temos
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}=30^\circ.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{6}=30^\circ

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