Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo tenham:
\left\{\begin{array}{l}x+y+a z=2 \\\\ 3 x+4 y+2 z=a \\\\ 2 x+3 y-z=1\end{array}\right. Solução única.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} x + y + a\,z = 2,\\\\ 3x + 4y + 2z = a,\\\\ 2x + 3y - z = 1, \end{cases}
que depende do parâmetro a. O conteúdo aqui é determinante de matriz 3\times3: para existir solução única, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes A:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a\\\\ 3 & 4 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos \det(A) pela regra de Laplace (ou Sarrus):
\det(A) =1\cdot\bigl(4\cdot(-1)-2\cdot3\bigr) -1\cdot\bigl(3\cdot(-1)-2\cdot2\bigr) +a\cdot\bigl(3\cdot3-4\cdot2\bigr).
Dentro dos parênteses:
4\cdot(-1)-2\cdot3=-4-6=-10,\quad 3\cdot(-1)-2\cdot2=-3-4=-7,\quad 3\cdot3-4\cdot2=9-8=1.
Logo
\det(A)=1\cdot(-10)-1\cdot(-7)+a\cdot1=-10+7+a=a-3.

Passo 4

Para solução única é necessário \det(A)\neq0. Assim,
a-3\neq0 \quad\Longrightarrow\quad a\neq3.

Resposta

a \neq 3.

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