Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo tenham:
\left\{\begin{array}{l}a x+y+z=1 \\\ x+a y+z=1 \\\ x+y+a z=1\end{array}\right. Nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações com três incógnitas x\), \(y\) e \(z\): \[\begin{cases} a x + y + z = 1,\\\ x + a y + z = 1,\\\ x + y + a z = 1. \end{cases}
Precisamos determinar para quais valores de (a] o sistema não admite solução. Vamos usar determinante da matriz de coeficientes, posto da matriz e condição de consistência.

Passo 2

Denotando por A a matriz de coeficientes, temos
A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1\\\\ 1 & a & 1\\\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}
e
\det(A) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1\\\\ 1 & a & 1\\\\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a^3-3a+2 = (a-1)^2\,(a+2).
Logo, \det(A)=0 se, e somente se, a=1 ou a=-2.

Passo 3

Para o sistema não ter solução, a matriz deve ser singular (já vimos a=1 ou a=-2) e o vetor de termos independentes não pode pertencer ao espaço gerado pelas colunas de A, isto é, o posto da matriz ampliada deve ser maior que o posto de A.

Passo 4

Caso a=1:
A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 1&1&1\\\\ 1&1&1 \end{pmatrix},
cujo posto é 1, e o sistema se reduz a
x+y+z=1.
Como essa única equação é compatível, há infinitas soluções. Logo, a=1 não gera sistema sem solução.

Passo 5

Caso a=-2:
A=\begin{pmatrix} -2&1&1\\\\ 1&-2&1\\\\ 1&1&-2 \end{pmatrix}.
Observe que cada linha soma zero, portanto existe a relação
\text{linha}_1 + \text{linha}_2 + \text{linha}_3 = 0,
implicando \mathrm{posto}(A)=2. Já o vetor de termos independentes é
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
que não satisfaz a mesma combinação (pois 1+1+1=3\neq0). Assim \mathrm{posto}(A_{\text{ampliada}})=3 e o sistema é incompatível.

Resposta

-2

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