Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo tenham:
\left\{\begin{array}{l}x+a z=0 \\\ y=0 \\\ a x+z=0\end{array}\right. Mais de uma solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com incógnitas x,y,z\) e parâmetro \(a\): \[\begin{cases} x + a\,z = 0,\\\ y = 0,\\\ a\,x + z = 0.
Queremos os valores de (a] que fazem o sistema ter mais de uma solução (isto é, infinitas soluções).

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a\\\\ 0 & 1 & 0\\\ a & 0 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante. Usando a expansão pela primeira linha,
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} -0\cdot(\dots) +a\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&1\a&0\end{pmatrix} =1 - a^2.

Passo 3

Para o sistema ter infinitas soluções, é necessário \det(A)=0. Assim,
1 - a^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 1 \quad\text{ou}\quad a = -1.

Passo 4

Verificamos a consistência nesses casos:
Para a=1 as equações são
x + z = 0,\quad y=0,\quad x + z = 0,
onde a primeira e a terceira são idênticas, sobrando só x+z=0 e y=0. Temos um grau de liberdade em z, logo infinitas soluções.
Para a=-1 as equações são
x - z = 0,\quad y=0,\quad -x + z = 0,
onde a terceira é -1 vez a primeira, sobrando só x-z=0 e y=0. Novamente há um grau de liberdade, dando infinitas soluções.

Resposta

a = 1 ou a = -1

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