- Determinar para que valores de
um
-ciclo é uma permutação par.
Passo 1
O enunciado dá um
-ciclo (isto é, uma permutação que envia
) e pede: para quais valores de
esse
-ciclo é uma permutação par?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Há um inteiro
que indica o comprimento do ciclo. - É preciso decidir, em função de
, se o -ciclo é par ou ímpar.
Passo 2
Primeiro, o que significa “par” aqui? Uma permutação é chamada par se ela pode ser escrita como produto de um número par de transposições (uma transposição é uma permutação que troca dois elementos e deixa os outros fixos).
Propriedades úteis:
Propriedades úteis:
- Qualquer transposição tem sinal
(ou seja, é ímpar). - O sinal de uma permutação é multiplicativo: o sinal de um produto de transposições é o produto dos sinais. Assim, se uma permutação é produto de
transposições, seu sinal é . A permutação é par exatamente quando , isto é, quando é par.
Passo 3
Agora vamos escrever explicitamente um
-ciclo como produto de transposições. Seja o
-ciclo
. Existe uma decomposição padrão em
transposições:
Explicando por que isso é igual: aplicar a direita para a esquerda, a última transposição
envia
para
. Em seguida
não afeta
, e assim por diante; a composição faz
. Para qualquer
com
, a sequência de transposições leva
para
(com
interpretado como
). Elementos fora do ciclo ficam fixos. Isso mostra que a identidade acima é válida.
Passo 4
Da decomposição do passo anterior vemos que o
-ciclo é um produto de exatamente
transposições. Logo o sinal do
-ciclo é
Portanto o
-ciclo é par quando
é par, isto é, quando
é ímpar. (Se
for par, então
é ímpar e o ciclo é ímpar.)
Passo 5
Verificação por exemplos rápidos:
-
: -ciclo é a identidade; é par, logo o -ciclo é par (e é ímpar). -
: -ciclo é uma transposição; é ímpar, logo ímpar. -
: -ciclo é produto de transposições; é par, logo par.
Resposta
Um
-ciclo é par se, e somente se,
é ímpar.