1. Determinar para que valores de m um m-ciclo é uma permutação par.

Passo 1

O enunciado dá um m-ciclo (isto é, uma permutação que envia a_1\mapsto a_2\mapsto a_3\mapsto\cdots\mapsto a_m\mapsto a_1) e pede: para quais valores de m esse m-ciclo é uma permutação par?
Informações relevantes fornecidas:
  • Há um inteiro m\ge 1 que indica o comprimento do ciclo.
  • É preciso decidir, em função de m, se o m-ciclo é par ou ímpar.

Passo 2

Primeiro, o que significa “par” aqui? Uma permutação é chamada par se ela pode ser escrita como produto de um número par de transposições (uma transposição é uma permutação que troca dois elementos e deixa os outros fixos).
Propriedades úteis:
  • Qualquer transposição tem sinal -1 (ou seja, é ímpar).
  • O sinal de uma permutação é multiplicativo: o sinal de um produto de transposições é o produto dos sinais. Assim, se uma permutação é produto de k transposições, seu sinal é (-1)^k. A permutação é par exatamente quando (-1)^k=1, isto é, quando k é par.

Passo 3

Agora vamos escrever explicitamente um m-ciclo como produto de transposições. Seja o m-ciclo (a_1\,a_2\,\dots\,a_m). Existe uma decomposição padrão em m-1 transposições:
(a_1\,a_2\,\dots\,a_m)=(a_1\,a_m)(a_1\,a_{m-1})\cdots(a_1\,a_3)(a_1\,a_2).
Explicando por que isso é igual: aplicar a direita para a esquerda, a última transposição (a_1\,a_2) envia a_1 para a_2. Em seguida (a_1\,a_3) não afeta a_2, e assim por diante; a composição faz a_1\mapsto a_2\mapsto a_3\mapsto\cdots\mapsto a_m\mapsto a_1. Para qualquer a_k com 2\le k\le m, a sequência de transposições leva a_k para a_{k+1} (com a_{m+1} interpretado como a_1). Elementos fora do ciclo ficam fixos. Isso mostra que a identidade acima é válida.

Passo 4

Da decomposição do passo anterior vemos que o m-ciclo é um produto de exatamente m-1 transposições. Logo o sinal do m-ciclo é
(-1)^{m-1}.
Portanto o m-ciclo é par quando m-1 é par, isto é, quando m é ímpar. (Se m for par, então m-1 é ímpar e o ciclo é ímpar.)

Passo 5

Verificação por exemplos rápidos:
  • m=1: 1-ciclo é a identidade; m-1=0 é par, logo o 1-ciclo é par (e 1 é ímpar).
  • m=2: 2-ciclo é uma transposição; m-1=1 é ímpar, logo ímpar.
  • m=3: 3-ciclo é produto de 2 transposições; m-1=2 é par, logo par.

Resposta

Um m-ciclo é par se, e somente se, m é ímpar.

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