Determinar os valores de x para que a matriz A=\left(\begin{array}{llll}x & 1 & 2 & 0 \\\\ 2 & x & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)_{4 X 4} seja inversível.
e pede os valores de x tais que A seja invertível. O conteúdo é determinante e condição de invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, \det A\neq 0.
Passo 2
Note que A é block–triangular, com um bloco 3\times3 no canto superior esquerdo e o bloco (1) no canto inferior direito. Assim
\det A = \det\bigl(\text{bloco }3\times3\bigr)\;\cdot\;1.
Denotando
B = \begin{pmatrix} x & 1 & 2\\\\ 2 & x & 2\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
temos \det A = \det B. Para A ser inversível precisamos de
\det B \neq 0.
Passo 3
Vamos calcular \det B usando a regra de Sarrus. Escrevendo as duas primeiras colunas de novo:
\begin{matrix} x & 1 & 2 & x & 1\\\\ 2 & x & 2 & 2 & x\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \end{matrix}
somam-se os produtos das diagonais descendentes e subtraem-se os das ascendentes: