Resolva o seguinte sistema linear usando a Regra de Cramer,
\left\{\begin{array}{ccc} 5 x+2 y+z & = & -12 \\ -x+4 y+2 z & = & 20 \\ 2 x-3 y+10 z & = & 3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} 5x + 2y + z = -12,\\\\ -\,x + 4y + 2z = 20,\\\\ 2x - 3y +10z = 3, \end{cases}
e pede a solução via Regra de Cramer. Para isso, vamos calcular o determinante D da matriz dos coeficientes e depois os determinantes D_x, D_y e D_z obtidos ao substituir, respectivamente, a coluna de x, de y e de z pelo vetor dos termos independentes.

Passo 2

Calculamos o determinante
D = \det \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ -1 & 4 & 2\\\\ 2 & -3 & 10 \end{pmatrix}
usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
D = 5\,(4\cdot10 - 2\cdot(-3)) -2\,((-1)\cdot10 - 2\cdot2) +1\,((-1)\cdot(-3) - 4\cdot2) =5\cdot46 -2\cdot(-14) +(-5) =230 +28 -5 =253.

Passo 3

Substituímos a coluna de x pelo vetor dos termos independentes para obter D_x:
D_x = \det \begin{pmatrix} -12 & 2 & 1\\\\ 20 & 4 & 2\\\\ 3 & -3 & 10 \end{pmatrix} =-12\,(4\cdot10 - 2\cdot(-3)) -2\,(20\cdot10 - 2\cdot3) +1\,(20\cdot(-3) - 4\cdot3) =-12\cdot46 -2\cdot194 +(-72) =-552 -388 -72 =-1012.

Passo 4

Substituímos a coluna de y pelo vetor dos termos independentes para obter D_y:
D_y = \det \begin{pmatrix} 5 & -12 & 1\\\\ -1 & 20 & 2\\\\ 2 & 3 & 10 \end{pmatrix} =5\,(20\cdot10 - 2\cdot3) +12\,((-1)\cdot10 - 2\cdot2) +1\,((-1)\cdot3 - 20\cdot2) =5\cdot194 +12\cdot(-14) +(-43) =970 -168 -43 =759.

Passo 5

Substituímos a coluna de z pelo vetor dos termos independentes para obter D_z:
D_z = \det \begin{pmatrix} 5 & 2 & -12\\\\ -1 & 4 & 20\\\\ 2 & -3 & 3 \end{pmatrix} =5\,(4\cdot3 - 20\cdot(-3)) -2\,((-1)\cdot3 - 20\cdot2) -12\,((-1)\cdot(-3) - 4\cdot2) =5\cdot72 -2\cdot(-43) -12\cdot(-5) =360 +86 +60 =506.

Passo 6

Pela Regra de Cramer,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-1012}{253} = -4,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{759}{253} = 3,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{506}{253} = 2.

Resposta

x = -4,\; y = 3,\; z = 2.

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