Determinar os valores de x para que a matriz A=\left(\begin{array}{llll}x & 1 & 2 & 0 \\\\ 2 & x & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)_{4 X 4} seja inversível.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} x & 1 & 2 & 0\\\\ 2 & x & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede os valores de x tais que A seja invertível. O conteúdo é determinante e condição de invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, \det A\neq 0.

Passo 2

Note que A é block–triangular, com um bloco 3\times3 no canto superior esquerdo e o bloco (1) no canto inferior direito. Assim
\det A = \det\bigl(\text{bloco }3\times3\bigr)\;\cdot\;1.
Denotando
B = \begin{pmatrix} x & 1 & 2\\\\ 2 & x & 2\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
temos \det A = \det B. Para A ser inversível precisamos de
\det B \neq 0.

Passo 3

Vamos calcular \det B usando a regra de Sarrus. Escrevendo as duas primeiras colunas de novo:
\begin{matrix} x & 1 & 2 & x & 1\\\\ 2 & x & 2 & 2 & x\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \end{matrix}
somam-se os produtos das diagonais descendentes e subtraem-se os das ascendentes:
\det B = \bigl(x\cdot x\cdot 2\bigr) + \bigl(1\cdot 2\cdot 0\bigr) + \bigl(2\cdot 2\cdot 1\bigr) -\Bigl(0\cdot x\cdot 2 + 1\cdot 2\cdot x + 2\cdot 1\cdot 2\Bigr).

Passo 4

Calculando cada termo:
x\cdot x\cdot2 = 2x^2,\quad 1\cdot2\cdot0 = 0,\quad 2\cdot2\cdot1 = 4,
0\cdot x\cdot2 = 0,\quad 1\cdot2\cdot x = 2x,\quad 2\cdot1\cdot2 = 4.
Logo
\det B = (2x^2 + 0 + 4) - (0 + 2x + 4) = 2x^2 + 4 - 2x - 4 = 2x(x - 1).
Portanto
\det A = 2x(x - 1).

Passo 5

Para A ser inversível, exigimos
\det A \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x-1)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0,\;x\neq 1.

Resposta

Os valores de x que tornam A inversível são
\boxed{x\neq 0\quad\text{e}\quad x\neq 1.}

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