Determinar os valores de a e b para que as retas
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+a t \\\ y=2+b t, \\\ z=-1+2 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=1+b t, \\\ z=-1+2 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.\right.sejam
paralelas;

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3\): \[r:\begin{cases} x=1+a t,\\\ y=2+b t,\\\ z=-1+2 t, \end{cases} \quad s:\begin{cases} x=2+t,\\\ y=1+b t,\\\ z=-1+2 t, \end{cases}
e pede para determinar a\] e \(b de modo que r e s sejam paralelas. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, e vamos usar o fato de que duas retas são paralelas se, e somente se, seus vetores diretores são colineares.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta:
– Para r, o vetor diretor é \mathbf{v}=(a,\;b,\;2).
– Para s, o vetor diretor é \mathbf{w}=(1,\;b,\;2).

Passo 3

A condição de paralelismo é que exista um escalar \lambda tal que
\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{w}.
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} a = \lambda\cdot 1,\\\ b = \lambda\cdot b,\\\\ 2 = \lambda\cdot 2. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem \lambda=1.
Substituindo em a = \lambda\cdot1 a=1.
A segunda equação fica b = 1\cdot b, que é sempre verdadeira para todo b\in\mathbb{R}.

Resposta

a = 1 e b pode ser qualquer número real.

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