r:\left\{\begin{array}{l}
x=1+a t \\\ y=2+b t, \\\ z=-1+2 t
\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l}
x=2+t \\\ y=1+b t, \\\ z=-1+2 t
\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.\right.sejam
paralelas;
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3\):
\[r:\begin{cases} x=1+a t,\\\ y=2+b t,\\\ z=-1+2 t, \end{cases} \quad s:\begin{cases} x=2+t,\\\ y=1+b t,\\\ z=-1+2 t, \end{cases}
e pede para determinar a\] e \(b de modo que r e s sejam paralelas. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, e vamos usar o fato de que duas retas são paralelas se, e somente se, seus vetores diretores são colineares.
Passo 2
Extraímos os vetores diretores de cada reta:
– Para r, o vetor diretor é \mathbf{v}=(a,\;b,\;2).
– Para s, o vetor diretor é \mathbf{w}=(1,\;b,\;2).
Passo 3
A condição de paralelismo é que exista um escalar \lambda tal que
\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{w}.
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} a = \lambda\cdot 1,\\\ b = \lambda\cdot b,\\\\ 2 = \lambda\cdot 2. \end{cases}
Passo 4
Da terceira equação vem \lambda=1.
Substituindo em a = \lambda\cdot1 dá a=1.
A segunda equação fica b = 1\cdot b, que é sempre verdadeira para todo b\in\mathbb{R}.