Determinar os vértices, centro, focos, excentricidade e esboçar o gráfico das seguintes hipérboles: 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! A gente precisa encontrar os vértices, o centro, os focos, a excentricidade e desenhar o gráfico da hipérbole dada pela equação 
 . Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como identificar a forma padrão da equação e calcular os elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
Para facilitar, dividimos todos os termos por 1 para deixar o lado direito igual a 1:
Agora a equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical:
Aqui, 
  e 
 .
Passo 3
Vamos encontrar o centro da hipérbole. Na forma padrão que usamos, o centro é na origem, ou seja, nas coordenadas 
 .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância 
  do centro ao longo do eixo y. Primeiro, encontramos 
 :
Então, os vértices estão nas coordenadas 
 :
Passo 5
Vamos determinar os focos da hipérbole. Para isso, precisamos calcular 
 , onde 
 .
Os focos ficam a uma distância 
  do centro ao longo do eixo y:
Passo 6
Vamos calcular a excentricidade 
 , que mede o quão “esticada” a hipérbole está. A excentricidade é dada por:
Passo 7
Por fim, para esboçar o gráfico da hipérbole, temos as seguintes informações:
- Centro: 
 - Vértices: 
e  - Focos: 
e  - A hipérbole abre para cima e para baixo, pois a diferença está nos 
.  
Resposta
A hipérbole 
  possui:
- Centro em 
 - Vértices em 
e  - Focos em 
e  - Excentricidade 
O gráfico é uma hipérbole vertical que abre para cima e para baixo.