Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: Focos 
 , vértices 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem os focos em 
  e 
 , e os vértices em 
  e 
 . Para isso, vamos usar os conceitos de hipérbole, focos, vértices e as fórmulas que relacionam esses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os focos. Como os focos estão em 
  e 
 , o centro é:
Então, o centro da nossa hipérbole é na origem, 
 .
Passo 3
Agora, vamos determinar qual é o eixo principal da hipérbole. Como os focos estão alinhados ao longo do eixo 
  (vertical), sabemos que o eixo principal também é vertical. Isso significa que a equação da hipérbole terá a forma:
Aqui, 
  é a distância do centro até cada vértice, e 
  está relacionado à distância dos “co-vertices”.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de 
 . Sabemos que os vértices estão em 
  e 
 , então a distância do centro até cada vértice é 2. Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de 
 , que é a distância do centro até cada foco. Como os focos estão em 
  e 
 , temos:
Passo 6
Sabemos que, para hipérboles, a relação entre 
 , 
  e 
  é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar 
 :
Passo 7
Agora que temos 
  e 
 , podemos substituir esses valores na equação geral da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é: