Determinar o vetor campo magnético \mathbf{H} devido a dois planos infinitos de corrente, posicionados no plano yz em x=-3 \mathrm{~m} e em x=2 \mathrm{~m}, contendo densidades superficiais de corrente de 41 \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} \mathrm{A} / \mathrm{m} e de -18 \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} \mathrm{A} / \mathrm{m}, respectivamente. Considerar os pontos:
\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(-4,-4,2).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Temos dois planos infinitos de corrente, ambos no plano yz (ou seja, normais ao eixo x):
    • Plano 1 em x=-3\\ \mathrm{m} com densidade superficial de corrente \mathbf{K}_1=41\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m}.
    • Plano 2 em x=2\\ \mathrm{m} com densidade superficial de corrente \mathbf{K}_2=-18\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m}.
  • Queremos calcular o vetor campo magnético \mathbf{H} devido a esses dois planos no ponto \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(-4,-4,2). Note que a coordenada relevante para decidir de que lado do plano o ponto está é a coordenada x=-4.
O que o enunciado pede: determinar \mathbf{H} (vetor) no ponto \mathrm{P}_{\mathrm{B}}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicado de forma didática).
  • Para uma folha infinita (plano) de corrente com densidade superficial \mathbf{K} (em \mathrm{A/m}) localizada num plano com normal \hat{\mathbf{n}}, a condição de contorno de Ampère para o campo magnético \mathbf{H} atravessando a folha é
\hat{\mathbf{n}}\times\bigl(\mathbf{H}_{\text{lado }+}-\mathbf{H}_{\text{lado }-}\bigr)=\mathbf{K}.
Isto diz: o salto (diferença) do campo \mathbf{H} através da folha, rotacionado pelo produto vetorial com a normal, é igual à densidade superficial de corrente. Essa relação vem diretamente da Lei de Ampère (integral) aplicada a um pequeno laço atravessando a folha.
  • Por simetria, para uma folha infinita em yz com \mathbf{K} ao longo de \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}, o campo \mathbf{H} resultante só pode ter componente ao longo de \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}} (pois não há preferência em y nem em z que gere componentes em x ou em y). Então podemos escrever \mathbf{H}=H_z(x)\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}.

Passo 3

Resultado padrão para uma única folha e derivação rápida para o módulo (para fixar a intuição).
  • Considere uma folha em x=x_0 com \mathbf{K}=K\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}. Tome \hat{\mathbf{n}}=+\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}} (normal apontando para +x). Aplicando a condição de contorno com \mathbf{H}=H_z\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}} obtemos
\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\times\bigl(H_{z}(x_0^+)\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}-H_{z}(x_0^-)\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\bigr)=K\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}.
  • Como \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}=-\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}, a equação fica
-\bigl(H_{z}(x_0^+)-H_{z}(x_0^-)\bigr)\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}=K\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}.
  • Igualando componentes em \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} obtemos
H_{z}(x_0^-)-H_{z}(x_0^+)=K.
A solução mais simples (simétrica) que satisfaz essa diferença é que o campo tenha magnitude K/2 em cada lado, com orientações opostas:
H_z(x_0^-)=\tfrac{K}{2},\qquad H_z(x_0^+)=-\tfrac{K}{2}.
Isto é, cada folha infinita cria um campo uniforme de magnitude \tfrac{|K|}{2} que muda de sinal atravessando a folha. (É a mesma ideia física de superpor infinitos fios paralelos.)

Passo 4

Fórmula prática que vamos aplicar por superposição.
  • Para uma folha no x=x_0 com \mathbf{K}=K\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}, a contribuição ao campo em um ponto com coordenada x é
\mathbf{H}_{\text{folha}}(x)=\frac{K}{2}\,\operatorname{sgn}(x_0-x)\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}},
onde \operatorname{sgn}(\cdot) é a função sinal: \operatorname{sgn}(t)=+1 se t>0 (ponto à esquerda da folha) e -1 se t<0 (ponto à direita da folha). Esta fórmula incorpora o sinal de K (se K for negativo o campo invertido) e o fato de que o campo muda de sentido ao atravessar a folha.
  • Como o problema tem duas folhas, por linearidade (superposição) somamos as contribuições:
\mathbf{H}(x)=\sum_{i=1}^{2}\frac{K_i}{2}\,\operatorname{sgn}(x_i-x)\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}},
onde x_1=-3, K_1=41 e x_2=2, K_2=-18.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao ponto pedido: primeiro localizamos x do ponto \mathrm{P}_{\mathrm{B}}.
  • Para \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(-4,-4,2) temos x=-4.
Agora calculamos para cada folha o sinal \operatorname{sgn}(x_i-x).

Passo 6

Contribuição da folha 1 (em x_1=-3, com K_1=41).
  • Calcular o sinal:
\operatorname{sgn}(x_1-x)=\operatorname{sgn}(-3-(-4))=\operatorname{sgn}(1)=+1.
  • Logo a contribuição da folha 1 é
\mathbf{H}_1=\frac{41}{2}\cdot(+1)\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}=\;20{,}5\;\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m}.

Passo 7

Contribuição da folha 2 (em x_2=2, com K_2=-18).
  • Calcular o sinal:
\operatorname{sgn}(x_2-x)=\operatorname{sgn}(2-(-4))=\operatorname{sgn}(6)=+1.
  • Como K_2=-18, a contribuição é
\mathbf{H}_2=\frac{-18}{2}\cdot(+1)\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}=-9\;\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m}.

Passo 8

Somando as contribuições (superposição linear).
\mathbf{H}(\mathrm{P}_{\mathrm{B}})=\mathbf{H}_1+\mathbf{H}_2 =20{,}5\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}} + (-9)\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}} =11{,}5\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m}.
Interpretando: o resultado é um campo uniforme ao longo de \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}} no ponto pedido, com módulo 11{,}5\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\mathbf{H}(\mathrm{P}_{\mathrm{B}})=11{,}5\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m}

Exercícios relacionados