Determinar o vetor campo magnético
devido a dois planos infinitos de corrente, posicionados no plano yz em
e em
, contendo densidades superficiais de corrente de
e de
, respectivamente. Considerar os pontos:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Temos dois planos infinitos de corrente, ambos no plano
(ou seja, normais ao eixo ): - Plano 1 em
com densidade superficial de corrente . - Plano 2 em
com densidade superficial de corrente .
- Plano 1 em
- Queremos calcular o vetor campo magnético
devido a esses dois planos no ponto . Note que a coordenada relevante para decidir de que lado do plano o ponto está é a coordenada .
O que o enunciado pede: determinar
(vetor) no ponto
.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicado de forma didática).
- Para uma folha infinita (plano) de corrente com densidade superficial
(em ) localizada num plano com normal , a condição de contorno de Ampère para o campo magnético atravessando a folha é
Isto diz: o salto (diferença) do campo
através da folha, rotacionado pelo produto vetorial com a normal, é igual à densidade superficial de corrente. Essa relação vem diretamente da Lei de Ampère (integral) aplicada a um pequeno laço atravessando a folha.
- Por simetria, para uma folha infinita em
com ao longo de , o campo resultante só pode ter componente ao longo de (pois não há preferência em nem em que gere componentes em ou em ). Então podemos escrever .
Passo 3
Resultado padrão para uma única folha e derivação rápida para o módulo (para fixar a intuição).
- Considere uma folha em
com . Tome (normal apontando para ). Aplicando a condição de contorno com obtemos
- Como
, a equação fica
- Igualando componentes em
obtemos
A solução mais simples (simétrica) que satisfaz essa diferença é que o campo tenha magnitude
em cada lado, com orientações opostas:
Isto é, cada folha infinita cria um campo uniforme de magnitude
que muda de sinal atravessando a folha. (É a mesma ideia física de superpor infinitos fios paralelos.)
Passo 4
Fórmula prática que vamos aplicar por superposição.
- Para uma folha no
com , a contribuição ao campo em um ponto com coordenada é
onde
é a função sinal:
se
(ponto à esquerda da folha) e
se
(ponto à direita da folha). Esta fórmula incorpora o sinal de
(se
for negativo o campo invertido) e o fato de que o campo muda de sentido ao atravessar a folha.
- Como o problema tem duas folhas, por linearidade (superposição) somamos as contribuições:
onde
,
e
,
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao ponto pedido: primeiro localizamos
do ponto
.
- Para
temos .
Agora calculamos para cada folha o sinal
.
Passo 6
Contribuição da folha 1 (em
, com
).
- Calcular o sinal:
- Logo a contribuição da folha 1 é
Passo 7
Contribuição da folha 2 (em
, com
).
- Calcular o sinal:
- Como
, a contribuição é
Passo 8
Somando as contribuições (superposição linear).
Interpretando: o resultado é um campo uniforme ao longo de
no ponto pedido, com módulo
.