Mostre que o único elemento de um grupo de período um é o elemento neutro.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: um grupo
e a informação de que ele é “de período um”. - Informação implícita num grupo: existe um elemento neutro, que chamamos de
, e para todo existe um inverso e a operação é associativa e fechada. - O que significa “período um” (isto é, o que o enunciado nos dá): para todo elemento
vale a igualdade . - Pedido: mostrar que o único elemento de
é o elemento neutro.
Passo 2
Lembrar o que é a potência
e por que ela é igual a
.
- Definição/observação básica: para qualquer elemento
, escrever significa multiplicar por si mesmo vezes (com a convenção natural). Em particular, multiplicar uma vez dá exatamente . - Assim, por definição e por como se interpreta potência em grupos, vale a identidade
para todo
.
- Esta é uma propriedade elementar das potências em qualquer grupo; não depende da hipótese do exercício.
Passo 3
Usar a hipótese do enunciado junto com a propriedade anterior para comparar os dois valores de
.
- Hipótese (período um): para todo
tem-se
- Pelo passo anterior sabemos também que
- Igualando as duas expressões para
obtemos, para qualquer ,
Passo 4
Concluir o argumento e comentar brevemente.
- A igualdade
vale para todo . Isso significa que não existe elemento em diferente do neutro: qualquer elemento é igual a . - Portanto o grupo tem exatamente um elemento (o neutro). Esse grupo é chamado de grupo trivial.
Resposta
O único elemento é
.