Mostre que o único elemento de um grupo de período um é o elemento neutro.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: um grupo G e a informação de que ele é “de período um”.
  • Informação implícita num grupo: existe um elemento neutro, que chamamos de e, e para todo g\in G existe um inverso e a operação é associativa e fechada.
  • O que significa “período um” (isto é, o que o enunciado nos dá): para todo elemento g\in G vale a igualdade g^{1}=e.
  • Pedido: mostrar que o único elemento de G é o elemento neutro.

Passo 2

Lembrar o que é a potência g^{1} e por que ela é igual a g.
  • Definição/observação básica: para qualquer elemento g\in G, escrever g^{n} significa multiplicar g por si mesmo n vezes (com a convenção natural). Em particular, multiplicar g uma vez dá exatamente g.
  • Assim, por definição e por como se interpreta potência em grupos, vale a identidade
g^{1}=g
para todo g\in G.
  • Esta é uma propriedade elementar das potências em qualquer grupo; não depende da hipótese do exercício.

Passo 3

Usar a hipótese do enunciado junto com a propriedade anterior para comparar os dois valores de g^{1}.
  • Hipótese (período um): para todo g\in G tem-se
g^{1}=e.
  • Pelo passo anterior sabemos também que
g^{1}=g.
  • Igualando as duas expressões para g^{1} obtemos, para qualquer g\in G,
g = e.

Passo 4

Concluir o argumento e comentar brevemente.
  • A igualdade g=e vale para todo g\in G. Isso significa que não existe elemento em G diferente do neutro: qualquer elemento é igual a e.
  • Portanto o grupo tem exatamente um elemento (o neutro). Esse grupo é chamado de grupo trivial.

Resposta

O único elemento é e.

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