Determinar o vetor campo magnético
devido a dois planos infinitos de corrente, posicionados no plano yz em
e em
, contendo densidades superficiais de corrente de
e de
, respectivamente. Considerar os pontos:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com cuidado):
- Existem dois planos infinitos de corrente situados no plano
, portanto em superfícies de equação m e m. - Densidades superficiais de corrente (corrente por unidade de comprimento, em A/m) são:
- na superfície
: . - na superfície
: .
- na superfície
- Ponto onde se quer o campo:
. Notei que a coordenada do ponto é , ou seja, este ponto está entre as duas superfícies porque .
O que o problema pede: determinar o vetor campo magnético
no ponto
.
Passo 2
Entendimento físico e simetrias (sem resolver ainda).
- Cada plano infinito de corrente é uniforme ao longo de
e . Isso implica que o campo só pode depender da coordenada (simetria de translação em ) e, pela forma da corrente (direção em ), o campo resultante só terá componente na direção (essa é uma conclusão por simetria e pela regra da mão direita: correntes em geram campos circulando em torno do eixo , portanto com componente ao longo de quando examinamos superfícies planas em ). - Assim podemos escrever, em cada região entre e fora das superfícies,
, com constante em cada região (porque em regiões sem correntes volumétricas e com simetria o rotacional de é zero e é uniforme por região). - Portanto vamos determinar
na região , que é onde está .
Passo 3
Derivação do efeito de uma única folha de corrente infinita (fórmula básica).
- Considere uma folha plana infinita no plano
em com densidade superficial . Para achar a descontinuidade do componente tangencial de atravessando a folha usamos a condição de contorno para campos magnéticos em presença de corrente superficial: onde é a normal unitária apontando da região esquerda para a direita (aqui ). - Supondo que
em ambas as regiões só tem componente em , escrevemos e . Então Usando obtemos Isso dá a descontinuidade - A solução fisicamente simétrica para uma folha isolada é que os campos nas duas faces têm mesmo módulo e sentidos opostos (por simetria):
e . Isso satisfaz a diferença e é a forma padrão conhecida: cada folha produz um salto de e os campos em cada lado têm magnitude com sinais opostos. - Conclusão prática (regra de uso rápido): para uma folha em
com , - se o ponto está à esquerda da folha (
), a contribuição dessa folha ao componente é ; - se o ponto está à direita da folha (
), a contribuição é .
(Sefor negativo, aplica-se a mesma regra numérica, pois o sinal de entra diretamente.)
- se o ponto está à esquerda da folha (
Passo 4
Aplicar superposição para as duas folhas e calcular
em
.
- Posição do ponto:
. - Para a folha em
com (positivo): - O ponto
está à direita da folha ( ), logo contribuição dessa folha é
- O ponto
- Para a folha em
com (negativo): - O ponto
está à esquerda da folha ( ), logo contribuição dessa folha é
- O ponto
- Somando as contribuições (superposição linear):
- Portanto o campo magnético no ponto é
que numericamente vale .