Determinar o vetor campo magnético \mathbf{H} devido a dois planos infinitos de corrente, posicionados no plano yz em x=-3 \mathrm{~m} e em x=2 \mathrm{~m}, contendo densidades superficiais de corrente de 41 \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} \mathrm{A} / \mathrm{m} e de -18 \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} \mathrm{A} / \mathrm{m}, respectivamente. Considerar os pontos:
\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(1,2,3).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com cuidado):
  • Existem dois planos infinitos de corrente situados no plano yz, portanto em superfícies de equação x=-3 m e x=2 m.
  • Densidades superficiais de corrente (corrente por unidade de comprimento, em A/m) são:
    • na superfície x=-3: \mathbf{K}_1 = 41\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m}.
    • na superfície x=2: \mathbf{K}_2 = -18\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m}.
  • Ponto onde se quer o campo: P_A(1,2,3). Notei que a coordenada x do ponto é x=1, ou seja, este ponto está entre as duas superfícies porque -3 < 1 < 2.
O que o problema pede: determinar o vetor campo magnético \mathbf{H} no ponto P_A.

Passo 2

Entendimento físico e simetrias (sem resolver ainda).
  • Cada plano infinito de corrente é uniforme ao longo de y e z. Isso implica que o campo \mathbf{H} só pode depender da coordenada x (simetria de translação em y,z) e, pela forma da corrente (direção em \hat{\mathbf{a}}_y), o campo resultante só terá componente na direção \hat{\mathbf{a}}_z (essa é uma conclusão por simetria e pela regra da mão direita: correntes em y geram campos circulando em torno do eixo y, portanto com componente ao longo de z quando examinamos superfícies planas em x).
  • Assim podemos escrever, em cada região entre e fora das superfícies, \mathbf{H}(x)=H_z(x)\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}, com H_z constante em cada região (porque em regiões sem correntes volumétricas e com simetria o rotacional de \mathbf{H} é zero e \mathbf{H} é uniforme por região).
  • Portanto vamos determinar H_z na região -3<x<2, que é onde está P_A.

Passo 3

Derivação do efeito de uma única folha de corrente infinita (fórmula básica).
  • Considere uma folha plana infinita no plano yz em x=0 com densidade superficial \mathbf{K}=K\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}. Para achar a descontinuidade do componente tangencial de \mathbf{H} atravessando a folha usamos a condição de contorno para campos magnéticos em presença de corrente superficial: \hat{\mathbf{n}}\times\bigl(\mathbf{H}_{\text{direita}}-\mathbf{H}_{\text{esquerda}}\bigr)=\mathbf{K},onde \hat{\mathbf{n}} é a normal unitária apontando da região esquerda para a direita (aqui \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}).
  • Supondo que \mathbf{H} em ambas as regiões só tem componente em z, escrevemos \mathbf{H}_{\text{esq}}=H_{\text{esq},z}\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}} e \mathbf{H}_{\text{dir}}=H_{\text{dir},z}\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}. Então \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\times\bigl((H_{\text{dir},z}-H_{\text{esq},z})\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\bigr) =(H_{\text{dir},z}-H_{\text{esq},z})\bigl(\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\bigr).Usando \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}=-\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} obtemos -(H_{\text{dir},z}-H_{\text{esq},z})\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}} = K\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}}.Isso dá a descontinuidade H_{\text{dir},z}-H_{\text{esq},z} = -K.
  • A solução fisicamente simétrica para uma folha isolada é que os campos nas duas faces têm mesmo módulo e sentidos opostos (por simetria): \;H_{\text{esq},z}=+\dfrac{K}{2} e H_{\text{dir},z}=-\dfrac{K}{2}. Isso satisfaz a diferença H_{\text{dir},z}-H_{\text{esq},z}=-K e é a forma padrão conhecida: cada folha produz um salto de -K e os campos em cada lado têm magnitude \dfrac{|K|}{2} com sinais opostos.
  • Conclusão prática (regra de uso rápido): para uma folha em x=x_0 com \mathbf{K}=K\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{y}},
    • se o ponto está à esquerda da folha ( x<x_0), a contribuição dessa folha ao componente H_z é +\dfrac{K}{2};
    • se o ponto está à direita da folha ( x>x_0), a contribuição é -\dfrac{K}{2}.
      (Se K for negativo, aplica-se a mesma regra numérica, pois o sinal de K entra diretamente.)

Passo 4

Aplicar superposição para as duas folhas e calcular \mathbf{H} em P_A.
  • Posição do ponto: x_P=1.
  • Para a folha em x=-3 com K_1=41 (positivo):
    • O ponto x=1 está à direita da folha ( 1>-3), logo contribuição dessa folha é H_{z,1} = -\frac{K_1}{2} = -\frac{41}{2}\\ \mathrm{A/m} = -20{,}5\\ \mathrm{A/m}.
  • Para a folha em x=2 com K_2=-18 (negativo):
    • O ponto x=1 está à esquerda da folha ( 1<2), logo contribuição dessa folha é H_{z,2} = +\frac{K_2}{2} = +\frac{-18}{2}\\ \mathrm{A/m} = -9\\ \mathrm{A/m}.
  • Somando as contribuições (superposição linear): H_z = H_{z,1} + H_{z,2} = -\frac{41}{2} + \bigl(-9\bigr) = -\frac{41}{2} - \frac{18}{2} = -\frac{59}{2}\\ \mathrm{A/m}.
  • Portanto o campo magnético no ponto é \mathbf{H}(P_A) = H_z\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}} = -\frac{59}{2}\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m}que numericamente vale -29{,}5\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}(1,2,3) = -\frac{59}{2}\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m} = -29{,}5\,\hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{z}}\\ \mathrm{A/m}

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