Determinar o vetor normal ao plano \pi nos seguintes casos:
\pi: \cdot \mathrm{X}=(1,1,1)+\lambda(2,1,-1)+\mu(3,-2,-1)

Passo 1

O enunciado define o plano \pi por equação paramétrica
\vec X = (1,1,1) + \lambda\,(2,1,-1) + \mu\,(3,-2,-1).
Queremos encontrar um vetor normal a \pi. Para isso, vamos usar o produto vetorial dos vetores diretores.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores
\vec v = (2,1,-1) e \vec w = (3,-2,-1).
O produto vetorial \vec n = \vec v \times \vec w é dado por
\displaystyle \vec v \times \vec w = (v_2 w_3 - v_3 w_2,\; v_3 w_1 - v_1 w_3,\; v_1 w_2 - v_2 w_1).

Passo 3

Substituindo os componentes de \vec v e \vec w:
\begin{aligned} n_1 &= 1\cdot(-1) - (-1)\cdot(-2) = -1 - 2 = -3,\\\ n_2 &= (-1)\cdot3 - 2\cdot(-1) = -3 + 2 = -1,\\\ n_3 &= 2\cdot(-2) - 1\cdot3 = -4 - 3 = -7. \end{aligned}
Logo \vec n = (-3,-1,-7).

Passo 4

Qualquer múltiplo não nulo de \vec n também é normal ao plano.
Por exemplo, (3,1,7) ou (-3,-1,-7) servem.

Resposta

\vec n = (-3,-1,-7) (ou, equivalente, (3,1,7)).

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