Determinar o vetor normal ao plano dado pelos pontos não colineares A, B e C , nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(2,1,1), \mathrm{B}=(3,1,-1), \mathrm{C}=(0,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede um vetor normal ao plano determinado pelos pontos A=(2,1,1), B=(3,1,-1) e C=(0,1,-1). O conteúdo aqui é produto vetorial: basta obter dois vetores que morem no plano e calcular o produto vetorial entre eles para obter um vetor ortogonal ao plano.

Passo 2

Escolhemos os vetores
\displaystyle \overrightarrow{AB}=B-A=(3-2,\;1-1,\;-1-1)=(1,0,-2) \displaystyle \overrightarrow{AC}=C-A=(0-2,\;1-1,\;-1-1)=(-2,0,-2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{n} =\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&0&-2\\\\ -2&0&-2 \end{vmatrix}

Passo 4

Expandindo o determinante, temos
\overrightarrow{n} =\mathbf{i}(0\cdot(-2)-(-2)\cdot0) -\mathbf{j}(1\cdot(-2)-(-2)\cdot(-2)) +\mathbf{k}(1\cdot0-0\cdot(-2)) =(0,\;6,\;0).
Como qualquer múltiplo também é normal, podemos simplificar para (0,1,0).

Resposta

Um vetor normal ao plano é (0,1,0).

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