Determinar o vetor normal ao plano \pi nos seguintes casos: \pi:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\lambda+\mu \\\ \mathrm{y}=1-\lambda+2 \mu \\\ \mathrm{z}=\lambda+\mu\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o plano \pi em forma paramétrica com parâmetros \lambda e \mu, definindo
x = \lambda + \mu,\quad y = 1 - \lambda + 2\mu,\quad z = \lambda + \mu.
Para achar um vetor normal precisamos identificar dois vetores diretores do plano e calcular o produto vetorial entre eles.
Passo 2
Os vetores diretores surgem derivando a expressão paramétrica em relação a \lambda e a \mu. Para \lambda temos
u = \frac{\partial}{\partial \lambda}(x,y,z) = (1, -1, 1),
e para \mu
v = \frac{\partial}{\partial \mu}(x,y,z) = (1, 2, 1).
Passo 3
O vetor normal \mathbf{n} é dado por u \times v. Calculando o determinante,