Determinar o vetor normal ao plano \pi nos seguintes casos:
\pi:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\lambda+\mu \\\ \mathrm{y}=1-\lambda+2 \mu \\\ \mathrm{z}=\lambda+\mu\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi em forma paramétrica com parâmetros \lambda e \mu, definindo
x = \lambda + \mu,\quad y = 1 - \lambda + 2\mu,\quad z = \lambda + \mu.
Para achar um vetor normal precisamos identificar dois vetores diretores do plano e calcular o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Os vetores diretores surgem derivando a expressão paramétrica em relação a \lambda e a \mu. Para \lambda temos
u = \frac{\partial}{\partial \lambda}(x,y,z) = (1, -1, 1),
e para \mu
v = \frac{\partial}{\partial \mu}(x,y,z) = (1, 2, 1).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} é dado por u \times v. Calculando o determinante,
u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \bigl((-1)\cdot1 - 1\cdot2,\;-\!(1\cdot1 - 1\cdot1),\;1\cdot2 - (-1)\cdot1 \bigr) = (-3, 0, 3).
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 3, obtendo (-1,0,1).

Resposta

Um vetor normal ao plano \pi é (-1,0,1), ou qualquer múltiplo não nulo desse vetor.

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