Determinar o vetor normal ao plano \pi nos seguintes casos:
\pi:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-3 \lambda-\mu \\\ \mathrm{y}=1+\lambda+2 \mu \\\ \mathrm{z}=-\lambda-\mu\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano \pi\) em forma paramétrica: \[\begin{cases} x = 2 - 3\lambda - \mu,\\\ y = 1 + \lambda + 2\mu,\\\ z = -\lambda - \mu. \end{cases}
Queremos um vetor normal a \pi\]. Sabendo que um plano parametrizado por dois vetores diretores \(\mathbf v_1 e \mathbf v_2 tem normal dado por \mathbf v_1\times\mathbf v_2, vamos identificar esses vetores.

Passo 2

Ao variar \lambda com \mu fixo, temos incrementos
\Delta x=-3,\quad \Delta y=1,\quad \Delta z=-1,
logo \mathbf v_1 =(-3,\,1,\,-1).
Ao variar \mu com \lambda fixo, temos
\Delta x=-1,\quad \Delta y=2,\quad \Delta z=-1,
logo \mathbf v_2 =(-1,\,2,\,-1).

Passo 3

O vetor normal é
\mathbf n = \mathbf v_1 \times \mathbf v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -3 & 1 & -1\\\\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calculando cada componente:
Para \mathbf i:
1\cdot(-1)-(-1)\cdot2 = -1 +2 = 1.
Para \mathbf j:
-\,\bigl((-3)\cdot(-1)-(-1)\cdot(-1)\bigr) = -\,(3-1) = -2.
Para \mathbf k:
(-3)\cdot2 - 1\cdot(-1) = -6 +1 = -5.
Logo
\mathbf n = (1,\,-2,\,-5).

Resposta

Um vetor normal ao plano \pi é \,(1,\,-2,\,-5).

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